Polynomy procházející zadanými body
Úloha číslo: 2626
Najděte všechny polynomy čtvrtého stupně, jejíchž graf prochází zadanými body.
Varianta 1
\([-1{,}3]\), \([0,-3]\), \([1{,}3]\) a \([2{,}15]\).
Nápověda
Označte si obecný polynom čtvrtého stupně \(p(x) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\). Pomocí zadaných bodů pak sestavte soustavu.
Řešení
Dosazením jednotlivých bodů získáme soustavu rovnic \[\begin{array}{rrrrrrr} a & -b & +c & -d & +e &=& 3 \\ & & & & e &=& -3 \\ a & +b & +c & +d & +e &=& 3 \\ 16a & +8b & +4c & +2d & +e &=& 15 \\ \end{array}\]
Z druhé rovnice rovnou známe hodnotu \(e=-3\), kterou dosadíme do zbylých rovnic a výslednou soustavu zapíšeme maticově. \[ \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 6 \\ 16 & 8 & 4 & 2 & 18 \\ \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & 0 & 2 & 0 & 12 \\ 12 & 8 & 0 & 2 & -6 \\ \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cccc|c} 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 6 \\ 12 & 6 & 0 & 0 & -6 \\ \end{array} \right) \]
Z poslední matice vidíme, že \(b=-d\), \(c=-a+6\), \(b=-2a-1\).
Zbývá ještě vyloučit možnost \(a=0\), protože nedává polynom čtvrtého stupně.
Výsledek
Všechny polynomy čtvrtého stupně mají tvar \(p(x) = a x^4 - (1+2a) x^3 + (6-a) x^2 + (1+2a) x -3 \), kde \(a \in \mathbb R \setminus \{0\}\).
Varianta 2
\([-1,-3]\), \([0,-8]\), \([1{,}5]\) a \([2{,}6]\).
Řešení
Dosazením jednotlivých bodů získáme soustavu rovnic \[\begin{array}{rrrrrrr} a & -b & +c & -d & +e &=& -3 \\ & & & & e &=& -8 \\ a & +b & +c & +d & +e &=& 5 \\ 16a & +8b & +4c & +2d & +e &=& 6 \\ \end{array}\]
Dosazením \(e=-8\), dostáváme: \[ \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 13 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 5 \\ 16 & 8 & 4 & 2 & 14 \\ \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 13 \\ 2 & 0 & 2 & 0 & 18 \\ 12 & 8 & 0 & 2 & -22 \\ \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cccc|c} 0 & 1 & 0 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 9 \\ 12 & 6 & 0 & 0 & -30 \\ \end{array} \right) \]
Z poslední matice vidíme, že \(b=4-d\), \(c=-a+9\), \(b=-2a-5\).
Výsledek
Všechny polynomy čtvrtého stupně mají tvar \(p(x) = a x^4 - (5+2a) x^3 + (9-a) x^2 + (9+2a) x -8 \), kde \( a \in \mathbb R \setminus \{0\}\).
