Relace kolmosti
Úloha číslo: 2679
Vůči standardnímu skalárnímu součinu na \(\mathbb R^3\) vyberte z následujících tří vektorů kolmé dvojice: \((1, 2, 3)^\mathsf{T}\), \((5, 2, -3)^\mathsf{T}\) a \((-2, -1, -4)^\mathsf{T}\).
Kterou z následujících vlastností má relace kolmosti (ortogonality): Reflexivita, ireflexivita, symetrie, slabá či silná antisymetrie, tranzitivita?
Jak by tomu bylo obecně? Změnila by se situace kdybychom vzali:
- Standardní skalární součin na \(\mathbb C^3\)?
- Nestandardní skalární součin na \(\mathbb R^3\)?
- Libovolný skalární součin na prostoru nad \(\mathbb R\) či \(\mathbb C\) dimenze alespoň 1?
- Libovolný skalární součin na prostoru nad \(\mathbb R\) či \(\mathbb C\) dimenze 0?
Řešení
\((1, 2, 3)^\mathsf{T}\perp(5, 2, -3)^\mathsf{T}\), \((5, 2, -3)^\mathsf{T}\perp(-2, -1, -4)^\mathsf{T}\), ale \((1, 2, 3)^\mathsf{T}\not\perp(-2, -1, -4)^\mathsf{T}\).
Relace kolmosti tudíž není tranzitivní.
Standardní skalární součin na \(\mathbb R^3\) je symetrická relace, žádnou jinou z uvedených vlastností nemá. Stejně tak i libovolný nestandardní skalární součin na prostoru dimenze alespoň 1 nad \(\mathbb R\).
U prostorů dimenze alespoň 1 nad \(\mathbb C\) nemá skalární součin žádnou z uvedených vlastností.
Pro úplnost, u prostorů dimenze alespoň 0 nad \(\mathbb R\) i \(\mathbb C\) je skalární součin reflexivní, symetrická, slabě antisymetrická i tranzitivní relace. Je to z toho důvodu, že takový prostor obsahuje pouze nulový vektor a ten je sám na sebe kolmý z definice.
