Prostor podmnožin
Úloha číslo: 2496
V systému podmnožin množiny \(A=\{a,b,c,d,e\}\) braném jako
vektorový prostor nad \(\mathbb Z_2\) určete
- nulový vektor \(\mathbf 0\),
- opačný vektor \(-\mathbf u\) k vektoru \(\mathbf u=\{b,d,e\}\),
- výsledek lineární kombinace \(\mathbf s=1\cdot \mathbf v+1\cdot \mathbf w + 0\cdot \mathbf x + 1\cdot \mathbf y\),
kde \(\mathbf v=\{a,c,d\}\), \(\mathbf w=\{b,c\}\), \(\mathbf x=\{a,b,d,e\}\) a \(\mathbf y=\{b,e\}\), - zdali lze zapsat vektor \(\mathbf z=\{a,b,e\}\) jako lineární kombinaci vektorů \(\mathbf v,\mathbf w,\mathbf x\) a \(\mathbf y\).
Výsledek
- \(\mathbf 0=\emptyset\),
- \(-\mathbf u=\mathbf u\), to ostatně platí v každém postoru nad tělsem charakteristiky dva, protože \(-1=1\),
- \(\mathbf s=\{a,d,e\}\),
- Tato otázka vede na soustavu čtyř rovnic o pěti neznámých a v našem případě nemá řešení – vektor \(\mathbf z\) tedy nelze složit z \(\mathbf v,\mathbf w,\mathbf x\) a \(\mathbf y\).
Všimněte si, že vektory \(\mathbf v,\mathbf w,\mathbf x\) a \(\mathbf y\) nedokáží rozlišit prvky \(a\) a \(d\).
