Věta o průniku a spojení
Úloha číslo: 2531
Dokažte, že jsou-li \(V\) a \(W\) podprostory konečné dimenze, tak platí \[ \dim(V)+\dim(W)=\dim(V\cap W)+\dim({\mathcal L}(V\cup W)). \]
Nápověda
Určete dimenze pomocí vhodných bazí.
Řešení
Vezmeme bázi \(X_1\) prostoru \(V\cap W\). Rozšíříme \(X_1\) o \(X_2\) na bázi \(V\) a podobně rozšíříme \(X_1\) o \(X_3\) na bázi \(W\).
Potom stačí ukázat, že \(X_1\cup X_2\cup X_3\) je bazí \({\mathcal L}(V\cup W)\) protože uvedené dimenze jsou dány výrazy
\( \dim(V)+\dim(W)=(|X_1|+|X_2|)+(|X_1|+|X_3|)=\\|X_1|+(|X_1|+|X_2|+|X_3|)=\dim(V\cap W)+\dim({\mathcal L}(V\cup W)). \)
Každý vektor z \({\mathcal L}(V\cup W)\) je lineární kombinací pomocných vektorů z \(V\) a \(W\). Tyto pomocné vektory si vyjádříme vůči bázi \(X_1\cup X_2\) pro vektory z \(V\) a vůči bázi \(X_1\cup X_3\) pro vektory z \(W\). Celou lineární kombinaci pomocných vektorů lze vyjádřit vůči \(X_1\cup X_2\cup X_3\), čili tato množina generuje \({\mathcal L}(V\cup W)\).
Také platí, že \(X_1\cup X_2\cup X_3\) je lineárně nezávislá – \(X_1\cup X_2\) je lineárně nezávislá, protože jsme ji zvolili jako bázi. Kdyby pro spor nějaká kombinace vektorů z \(X_3\) patřila do \(V\), musela by pak zákonitě patřit do \(V\cap W\), což by vedlo k se sporu s lineární nezávislostí množiny \(X_1\cup X_3\).
