Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Věta o průniku a spojení
Úloha číslo: 2531
Dokažte, že jsou-li V a W podprostory konečné dimenze, tak platí dim(V)+dim(W)=dim(V∩W)+dim(L(V∪W)).
Nápověda
Určete dimenze pomocí vhodných bazí.
Řešení
Vezmeme bázi X1 prostoru V∩W. Rozšíříme X1 o X2 na bázi V a podobně rozšíříme X1 o X3 na bázi W.
Potom stačí ukázat, že X1∪X2∪X3 je bazí L(V∪W) protože uvedené dimenze jsou dány výrazy
dim(V)+dim(W)=(|X1|+|X2|)+(|X1|+|X3|)=|X1|+(|X1|+|X2|+|X3|)=dim(V∩W)+dim(L(V∪W)).
Každý vektor z L(V∪W) je lineární kombinací pomocných vektorů z V a W. Tyto pomocné vektory si vyjádříme vůči bázi X1∪X2 pro vektory z V a vůči bázi X1∪X3 pro vektory z W. Celou lineární kombinaci pomocných vektorů lze vyjádřit vůči X1∪X2∪X3, čili tato množina generuje L(V∪W).
Také platí, že X1∪X2∪X3 je lineárně nezávislá – X1∪X2 je lineárně nezávislá, protože jsme ji zvolili jako bázi. Kdyby pro spor nějaká kombinace vektorů z X3 patřila do V, musela by pak zákonitě patřit do V∩W, což by vedlo k se sporu s lineární nezávislostí množiny X1∪X3.