Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Obtížnost

Štítky

Typ úlohy
«
«
«

Věta o průniku a spojení

Úloha číslo: 2531

Dokažte, že jsou-li V a W podprostory konečné dimenze, tak platí dim(V)+dim(W)=dim(VW)+dim(L(VW)).

  • Nápověda

    Určete dimenze pomocí vhodných bazí.

  • Řešení

    Vezmeme bázi X1 prostoru VW. Rozšíříme X1 o X2 na bázi V a podobně rozšíříme X1 o X3 na bázi W.

    Potom stačí ukázat, že X1X2X3 je bazí L(VW) protože uvedené dimenze jsou dány výrazy

    dim(V)+dim(W)=(|X1|+|X2|)+(|X1|+|X3|)=|X1|+(|X1|+|X2|+|X3|)=dim(VW)+dim(L(VW)).

    Každý vektor z L(VW) je lineární kombinací pomocných vektorů z V a W. Tyto pomocné vektory si vyjádříme vůči bázi X1X2 pro vektory z V a vůči bázi X1X3 pro vektory z W. Celou lineární kombinaci pomocných vektorů lze vyjádřit vůči X1X2X3, čili tato množina generuje L(VW).

    Také platí, že X1X2X3 je lineárně nezávislá – X1X2 je lineárně nezávislá, protože jsme ji zvolili jako bázi. Kdyby pro spor nějaká kombinace vektorů z X3 patřila do V, musela by pak zákonitě patřit do VW, což by vedlo k se sporu s lineární nezávislostí množiny X1X3.

Obtížnost: Středně těžká úloha
Úloha na dokazování, ověřování
En translation
	Zaslat komentář k úloze