Sylvesterova rovnice
Úloha číslo: 4583
Řešení
Úloha vede na soustavu čtyř lineárních rovnic o čtyř neznámých, kde neznámé jsou složky hledané matice \(\boldsymbol X\).
Označme \( \boldsymbol X = \begin{pmatrix}x_{11} & x_{12}\\ x_{21} & x_{22}\end{pmatrix}. \)
Potom \( \begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & 3\end{pmatrix}\boldsymbol X = \begin{pmatrix} x_{11}+2x_{21} & x_{12}+2x_{22}\\ 3x_{21} & 3x_{22} \end{pmatrix}\)
a podobně \( \boldsymbol X\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{11}+2x_{12} & 2x_{11}+x_{12}\\ x_{21}+2x_{22} & 2x_{21}+x_{22} \end{pmatrix}. \)Po sečtení dostaneme \( \begin{pmatrix} 2x_{11}+2x_{12}+2x_{21} & 2x_{11}+x_{12}+2x_{22}\\ 4x_{21}+2x_{22} & 2x_{21}+4x_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 & 8\\ 2 & 4\end{pmatrix}. \)
Z toho plyne soustava rovnic:
\( \begin{array}{ccccccccl} 2x_{11} &+& 2x_{12} &+& 2x_{21} & & &=& 6 \\ 2x_{11} &+& 2x_{12} &+& & & 2x_{22} &=& 8 \\ & & & & 4x_{21} &+& 2x_{22} &=& 2 \\ & & & & 2x_{21} &+& 4x_{22} &=& 4 \end{array} \)
s řešením \(x_{21}=0, x_{22}=1, x_{11}=3-x_{12}\), kde \(x_{12}\) je volná proměnná.Odpověď
Řešením je každá matice ve tvaru \( \boldsymbol X=\begin{pmatrix}3-p & p\\ 0 & 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} +p \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) pro \(p\in \mathbb R\).Zkouška
Zkouška: \( \begin{pmatrix}1&2\\ 0&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3-p&p\\ 0&1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3-p&p\\ 0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2\\ 2&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(3-p)+2p+2{\cdot} 0 & 2(3-p)+2p+2{\cdot} 1\\ 4{\cdot} 0+2{\cdot} 1 & 2{\cdot} 0+4{\cdot} 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6&8\\ 2&4\end{pmatrix} \)
