Průnik konvexních množin
Úloha číslo: 3254
Ukažte, že libovolný průnik konvexních množin je konvexní množina.
Nápověda
Množina \(A\subseteq \mathbb R^n\) je konvexní, pokud s každými dvěma body \(a,b\in A\) obsahuje i úsečku, která je spojuje t.j. \(\{\alpha a + (1-\alpha)b\,|\, 0 \le \alpha \le 1\}\subseteq A\).
Řešení
Nechť \(a,b\in \bigcap_i A_i\) tak potom \(a,b\in A_i\) pro všechna \(i\) a tím pádem \(\forall i: \{\alpha a + (1-\alpha)b\,|\, 0 \le \alpha \le 1\}\subseteq A_i\) ale tedy \(\{\alpha a + (1-\alpha)b\,|\, 0 \le \alpha \le 1\}\subseteq \bigcap_i A_i\), tzn. \(\bigcap_i A_i\) je konvexní.