Násobení a transpozice

Nechť \(\boldsymbol A\) je matice typu \(m \times n\) a matice \(\boldsymbol B\) je typu \(n \times p\). Rozhodněte, zda vždy platí:

Varianta 1
\((\boldsymbol A\boldsymbol B)^\mathsf T = \boldsymbol A^\mathsf T \boldsymbol B^\mathsf T\).
Nápověda
Pro jaké hodnoty \(m\), \(n\) a \(p\) dává \(\boldsymbol A^\mathsf T \boldsymbol B^\mathsf T\) smysl?
Řešení
Neplatí. \(\boldsymbol A^\mathsf T\) je \(n \times m\) matice a \(\boldsymbol B^\mathsf T\) je \(p \times n\) matice. Pokud \(m \neq p\), tak výraz na pravé straně ani nedává smysl. (Pozn., dá se najít i protipříklad, pokud \(m = n = p \geq 2\).)
Varianta 2
\((\boldsymbol A\boldsymbol B)^\mathsf T = \boldsymbol B^\mathsf T \boldsymbol A^\mathsf T\).
Nápověda
Rozepište si výraz na pravé a levé straně z definice násobení a transpozice.
Řešení
Ukážeme, že rovnost (možná trochu překvapivě) platí.

Mějme \(\boldsymbol A = (a_{ij}), \boldsymbol B = (b_{ij}), \boldsymbol{AB} = (c_{ij})\) (pro jednoduchost zápisu nevyznačujeme meze dané zadáním, kontrolujte si, že meze pro násobení jsou vždy v pořádku). Z definice násobení: \[ c_{ij} = \sum\limits_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}. \] Tedy \[ (\boldsymbol{AB})^\mathsf T = (c_{ji}) = \left(\sum_{k=1}^n a_{jk}b_{ki}\right). \] Dále z definice transpozice a násobení \[ \boldsymbol B^\mathsf T \boldsymbol A^\mathsf T = \left(\sum_{k=1}^n b_{ki} a_{jk}\right). \] To dokazuje požadovanou rovnost.