Inverze matice

Invertujte následující matice v tělesech \(\mathbb Z_3\) a \(\mathbb Z_5\)

Varianta 1
\( \mathbf A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \).
Výsledek
Nad \(\mathbb Z_3\): \(A^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ \end{pmatrix}\), nad \(\mathbb Z_5\): \(A^{-1}= \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ \end{pmatrix}\).
Varianta 2
\( \mathbf B= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \).
Výsledek
\(\mathbf B\) je v obou tělesech singulární.
Varianta 3
\( \mathbf C= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \).
Výsledek
Nad \(\mathbb Z_3: \mathbf C^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}\), nad \(\mathbb Z_5: \mathbf C^{-1}= \begin{pmatrix} 4 & 3 & 4 & 2 \\ 4 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 4 & 3 \end{pmatrix}\).
Varianta 4
\( \mathbf D= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix} \).
Výsledek
\(\mathbf D\) je v obou tělesech singulární.
Varianta 5
\( \mathbf E= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \).
Výsledek
\(\mathbf E\) je v \(\mathbb Z_3\) singulární, ale nad \(\mathbb Z_5: \mathbf E^{-1}= \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 1 \\ 2 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 3 & 3 & 4 \\ \end{pmatrix}\).