Zjednodušení výrazu
Úloha číslo: 4581
Za předpokladu, že matice \(\boldsymbol A\), \(\boldsymbol B\) a \(\boldsymbol A+\boldsymbol B\) jsou regulární, zjednodušte výraz \(\boldsymbol A(\boldsymbol A^{-1}+\boldsymbol B^{-1})\boldsymbol B(\boldsymbol A+\boldsymbol B)^{-1}\).
Jakou vlastnost má matice \(\boldsymbol A^{-1}+\boldsymbol B^{-1}\)?
Řešení
\( \boldsymbol A(\boldsymbol A^{-1}+\boldsymbol B^{-1})\boldsymbol B(\boldsymbol A+\boldsymbol B)^{-1} = (\boldsymbol A\boldsymbol A^{-1}\boldsymbol B+\boldsymbol A\boldsymbol B^{-1}\boldsymbol B)(\boldsymbol A+\boldsymbol B)^{-1}=(\boldsymbol B+\boldsymbol A)(\boldsymbol A+\boldsymbol B)^{-1}=\mathbf I \)
Jde o součin regulárních, a proto je matice \(\boldsymbol A^{-1}+\boldsymbol B^{-1}\) také regulární.
