Mocniny bez identity
Úloha číslo: 2451
Nalezněte nějakou permutaci \(p\) na 10 prvcích takovou, že \(p^i\) není identita (značíme \(p^i\ne\imath\)) pro všechna \(i=1,…,29\).
Řešení
Pokud má permutace \(p\) cykly délky \(d_1,…,d_k\) dostaneme identitu až v takové mocnině \(p^i\), kde exponent \(i\) dělí všechna \(d_1,…,d_k\) beze zbytku. Pro 10 prvků tak můžeme vzít libovolnou permutaci s cykly délek 2, 3 a 5, např. \(p=(1{,}2)(3, 4, 5)(6{,}7,8{,}9,10)\).
