Bloková matice
Úloha číslo: 4441
Řešení
Přímo z definice, pro \(\boldsymbol z=(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)^T\in \mathbb C^{n+m}\), potom \( \boldsymbol z^H \begin{pmatrix} \boldsymbol A & \boldsymbol 0_{nm} \\ \boldsymbol 0_{mn} & \boldsymbol B \end{pmatrix} \boldsymbol z = \boldsymbol x^H\boldsymbol A\boldsymbol x + \boldsymbol y^H\boldsymbol B\boldsymbol y \)
Je-li \(\boldsymbol z\) netriviální, je jeden sčítanec vpravo kladný a druhý nezáporný.
Obráceně, pokud \(\boldsymbol x\) doplníme nulami na \(\boldsymbol z\), dostaneme \( \boldsymbol x^H\boldsymbol A\boldsymbol x = \boldsymbol z^H \begin{pmatrix} \boldsymbol A & \boldsymbol 0_{nm} \\ \boldsymbol 0_{mn} & \boldsymbol B \end{pmatrix} \boldsymbol z \gt 0\).
Pro \(\boldsymbol B\) lze postupovat obdobně.
Alternativní řešení
Lze využít i charakterizaci pomocí rozkladů, protože rozklady \(\boldsymbol A\) a \(\boldsymbol B\) dávají rozklad blokové matice a obráceně.
Také lze využít charakterizaci pomocí vlastních čísel, protože charakteristický polynom blokové matice je součinem \(p_\boldsymbol A(t)p_\boldsymbol B(t)\), a tedy vlastní čísla blokové matic jsou sjednocením vlastních čísel matic \(\boldsymbol A\) a \(\boldsymbol B\).
