Sbírka matematických úloh

Rozšíření báze

Úloha číslo: 2700

• Varianta 1

  viz matice \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \)

• Nápověda

  Nejprve rozšíříme bázi řádkového prostoru na bázi \(\mathbb R^4\). Nejprve převedeme matici do odstupňovaného tvaru. Poté bázi rozšíříme např. o řádky s "chybějícími" pivoty.

  Všimněte si, že jádro je ortogonálním doplňkem řádkového prostoru, t.j. rozšíření báze tvoří ortonormální bázi jádra.

• Řešení

  Matici převedeme do odstupňovaného tvaru: \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ \end{pmatrix} \).

  Nyní lze vzít např. \(\mathbf x_4=(0, 0, 0, 1)^T\). Přidaný vektor po normalizaci tvoří hledanou bázi jádra matice.

  Rozšiřujeme bázi \(Z=\{(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})^T, (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2})^T, (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})^T\}\).

  \(\langle \mathbf x_4|\mathbf z_1 \rangle=\frac{1}{2}\), \(\langle \mathbf x_4|\mathbf z_2 \rangle=-\frac{1}{2}\), \(\langle \mathbf x_4|\mathbf z_3 \rangle=\frac{1}{2}\), a tudíž \(\mathbf y_4=(\frac{1}{4}, -\frac{1}{4}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{4})^T\),

  Normalizujeme \(\mathbf y_4\): \(||\mathbf y_4||=\frac{1}{2}\) a získáme \(\mathbf z_4=(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2})^T\).

• Výsledek

  \(\mathbf z_4=(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2})^T\).

• Varianta 2

  viz matice \( \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 2 \\ \end{pmatrix} \)

• Řešení

  \(Z=\{(0, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 0)^T, (0, -\frac{4}{5}, \frac{3}{5}, 0)^T, (\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2})^T\).

  \(\mathbf x_4=(0, 0, 0, 1)^T\)

  \(\langle \mathbf x_4|\mathbf z_1 \rangle= 0\), \(\langle \mathbf x_4|\mathbf z_2 \rangle= 0\), \(\langle \mathbf x_4|\mathbf z_3 \rangle=\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\mathbf y_4=(-\frac{1}{2}, 0, 0, \frac{1}{2})^T\) \(||\mathbf y_4||=\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\mathbf z_4=(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2})^T\).

• Výsledek

  \(\mathbf z_4=(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2})^T\).

• Varianta 3

  viz matice \( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 2 \\ 4 & 3 & 2 & 4 \\ 6 & -5 & 3 & 6 \\ -4 & 2 & 4 & 2 \\ \end{pmatrix} \)

• Řešení

  \(Z=\{(\frac{2}{3}, 0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3})^T, (0, 1, 0, 0)^T, (-\frac{2}{3}, 0, \frac{2}{3}, \frac{1}{3})^T\}\),

  \(\mathbf x_4=(0, 0, 0, 1)^T\),

  \(\langle \mathbf x_4|\mathbf z_1 \rangle=\frac{2}{3}\), \(\langle \mathbf x_4|\mathbf z_2 \rangle=0\), \(\langle \mathbf x_4|\mathbf z_3 \rangle=\frac{1}{3}\), \(\mathbf y_4=(-\frac{2}{9}, 0, -\frac{4}{9}, \frac{4}{9})^T\), \(||\mathbf y_4||=\frac{2}{3}\), \(\mathbf z_4=(-\frac{1}{3}, 0, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3})^T\).

• Výsledek

  \(\mathbf z_4=(-\frac{1}{3}, 0, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3})^T\).

• Varianta 4

  viz matice \( \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 & 1 \\ -1 & -2 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \)

• Řešení

  \(Z =\{(\frac{2}{5}, \frac{4}{5}, \frac{2}{5}, \frac{1}{5})^T, (\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, -\frac{4}{5}, -\frac{2}{5})^T, (0, 0, -\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2\sqrt{5}}{5})^T\}\),

  \(\mathbf x_4=(0{,}1,0{,}0)^T\),

  \(\langle \mathbf x_4|\mathbf z_1 \rangle=\frac{4}{5}\), \(\langle \mathbf x_4|\mathbf z_2 \rangle=\frac{2}{5}\). \(\langle \mathbf x_4|\mathbf z_3 \rangle= 0\), \(\mathbf y_4=(-\frac{2}{5}, \frac{1}{5}, 0, 0)^T\),

  \(||\mathbf y_4||=\frac{\sqrt{5}}{5}\), \(\mathbf z_4=(-\frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}, 0, 0)^T\).

• Výsledek

  \(\mathbf z_4=(-\frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}, 0, 0)^T\).