Signatura formy v R3

Určete signaturu kvadratické formy \(g\) na \(\mathbb R^3\), která má pro \(u=(x, y, z)^T\) následující analytické vyjádření

Varianta 1
\(g(u)=-2xy+2xz+y^2-z^2\).
Nápověda
Prozkoumejte vlastní čísla matice formy.
Řešení
Sestavíme matici formy \(B=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}\)

Charakteristický mnohočlen je \(p_B(t)=-t(t^2-3)\), čili \(B\) má jedno vlastní číslo kladné \(\lambda_1=\sqrt{3}\), jedno nulové \(\lambda_2=0\) a jedno záporné \(\lambda_3=-\sqrt{3}\).
Výsledek
Signatura formy \(g\) je \((\#1, \#-1, \#0)=(1, 1, 1)\).
Varianta 2
\(g(u)=x^2+6xy+4xz+9y^2+12yz+4z^2\).
Výsledek
Signatura formy \(g\) je \((\#1, \#-1, \#0)=(1, 0, 2)\).