Sbírka matematických úloh

Soustavy Ia.

Úloha číslo: 2367

• Varianta 1

  \[\begin{alignat*}{7}3 x_1 &+& 2x_2 &+& x_3 &=\ & 5 \\ 2 x_1 &+& 3x_2 &+& x_3 &=\ & 1 \\ 2 x_1 &+& x_2 &+& 3x_3 &=\ & 11\\ 5 x_1 &+& 5x_2 &+& 2x_3 &=\ & 6 \end{alignat*}\]

• Řešení

  Zapíšeme rozšířenou matici soustavy a převedeme ji na odstupňovaný tvar: \[ \begin{pmatrix} \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 11 \\ 5 & 5 & 2 & 6 \\ \end{array} \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 6 & 18 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \end{pmatrix} \] Zpětnou eliminací získáme řešení: \(\mathbf x=(2,-2{,}3)^T\).

  Zkoušku provedeme dosazením do původních rovnic soustavy.

  \[\begin{alignat*}{9}3 {\cdot} 2 &+& 2\cdot (-2) &+& 3 &=\ & 6-4+3 &=\ & 5 \\ 2 {\cdot} 2 &+& 3\cdot (-2) &+& 3 &=\ & 4-6+3 &=\ & 1 \\ 2 {\cdot} 2 &+& (-2) &+& 3{\cdot} 3 &=\ & 4-2+9 &=\ & 11\\ 5 {\cdot} 2 &+& 5\cdot (-2) &+& 2{\cdot} 3 &=\ & 10-10+6 &=\ & 6 \end{alignat*}\]

• Výsledek

  \(\mathbf x=(2,-2{,}3)^T\).

• Varianta 2

  \[\begin{alignat*}{9}- x_1 &+& x_2 &+& 3x_3 & & &=\ & -2 \\ 2x_1 &-& x_2 &-& 6x_3 &+& x_4 &=\ & 2 \\ - x_1 &+& x_2 &+& 4x_3 & & &=\ & -2 \\ & & x_2 &+& 2x_3 &+& 2x_4 &=\ & 0 \\ \end{alignat*}\]

• Výsledek

  \(\mathbf x=(-2,-4{,}0,2)^T\).

• Varianta 3

  \[\begin{alignat*}{9}- x_1 &-& x_2 &+& 2 x_3 & & &=\ & 1 \\ 2 x_1 &+& 3x_2 &-& 4 x_3 &+& 3 x_4 &=\ & 1 \\ x_1 &+& x_2 &-& x_3 &+& 2 x_4 &=\ & 2 \\ &-& x_2 &+& 2 x_3 &+& 2 x_4 &=\ & 5 \\ \end{alignat*}\]

• Výsledek

  \(\mathbf x=(0,-3,-1{,}2)^T\).

• Varianta 4

  \[\begin{alignat*}{9}3 x_1 &-& x_2 &-& x_3 &-& 2x_4 &=\ & -4 \\ 2 x_1 &+& 3x_2 &+& 5x_3 &+& 2x_4 &=\ & -3 \\ 2 x_1 &+& 3x_2 &-& x_3 &-& x_4 &=\ & -6 \\ x_1 &+& x_2 &+& 2x_3 &+& 3x_4 &=\ & 1 \\ x_1 &+& 2x_2 &+& 3x_3 &-& x_4 &=\ & -4 \end{alignat*}\]

• Výsledek

  \(\mathbf x=(-1,-1{,}0,1)^T\).

• Varianta 5

  \[\begin{alignat*}{11}2 x_1 &+& 2 x_2 &+& 8 x_3 &-& 3 x_4 &+& 9 x_5 &=\ & 2 \\ 2 x_1 &+& 2 x_2 &+& 4 x_3 &-& x_4 &+& 3 x_5 &=\ & 2 \\ x_1 &+& x_2 &+& 3 x_3 &-& 2 x_4 &+& 3 x_5 &=\ & 1 \\ 3 x_1 &+& 3 x_2 &+& 5 x_3 &-& 2 x_4 &+& 3 x_5 &=\ & 1 \end{alignat*}\]

• Výsledek

  Soustava nemá řešení.