Sbírka matematických úloh

Soustava rovnic modulo prvočíslo.

Úloha číslo: 2375

• Varianta 1

  $p=2$.

• Řešení

  Nejprve poznámka: cílem tohoto řešení je dopracovat se elementárními úvahami k výsledku pro všechna $p$, tak trochu ad hoc postupem. Systematičtější postup je pomocí úprav matic nad $\mathbb Z_p$.

  Z poslední rovnice dostáváme $x_4 = - x_2$ a z druhé rovnice $x_3 = 1 - x_2$. Dosazením do první a třetí rovnice máme tedy soustavu. $$\begin{align*} x_1 + x_2 &= 1 \\ x_1 - 2x_2 &= -1 \\ \end{align*}$$ Z první rovnice vyjádříme $x_2 = 1 - x_1$ a dosazením do druhé dostáváme $$3x_1 = 1.$$

  Nyní se už konkrétně zaměříme na výpočty modulo $2$. Dostáváme $x_1 = 1 \pmod 2$ a z předchozích vyjádření $x_2 = 0 \pmod 2$, $x_3 = 1 \pmod 2$ a $x_4 = 0 \pmod 2$. Povšimneme si, že získaná řešení soustavě vyhovují.

• Výsledek

  $x_1 = x_3 = 1 \pmod 2$, $x_2 = x_4 = 0 \pmod 2$.

• Varianta 2

  $p = 3$.

• Řešení

  Podobně jako v předchozí variantě dojdeme k $3x_1 = 1$. Při počítání modulo $3$ ale tato rovnice nemůže mít řešení, jelikož na levé straně je číslo dělitelné $3$, ale na pravé nikoliv.

• Výsledek

  Nemá řešení.

• Varianta 3

  $p = 5$.

• Řešení

  Podobně jako v předchozí variantě dojdeme k $3x_1 = 1$, $x_2 = 1 - x_1$, $x_3 = 1 - x_2$, $x_4 = -x_2$ (tentokrát vše modulo $5$).

  Uvědomíme si, že $x_1 = 2 \pmod 5$ je jediné řešení. Totiž je řešením, a že je jediné, buď ověříme rozborem případů nebo využijeme toho, že $\mathbb Z_5$ je těleso.

  Dosazováním dostáváme $x_2 = -1 = 4 \pmod 5$, $x_3 = 2 \pmod 5$ a $x_4 = 1 \pmod 5$. Opět ověříme, že se jedná o řešení.