Sbírka matematických úloh

Soustava rovnic modulo prvočíslo.

Úloha číslo: 2375

• Varianta 1

  \(p=2\).

• Řešení

  Nejprve poznámka: cílem tohoto řešení je dopracovat se elementárními úvahami k výsledku pro všechna \(p\), tak trochu ad hoc postupem. Systematičtější postup je pomocí úprav matic nad \(\mathbb Z_p\).

  Z poslední rovnice dostáváme \(x_4 = - x_2\) a z druhé rovnice \(x_3 = 1 - x_2\). Dosazením do první a třetí rovnice máme tedy soustavu. \[\begin{align*} x_1 + x_2 &= 1 \\ x_1 - 2x_2 &= -1 \\ \end{align*}\] Z první rovnice vyjádříme \(x_2 = 1 - x_1\) a dosazením do druhé dostáváme \[ 3x_1 = 1. \]

  Nyní se už konkrétně zaměříme na výpočty modulo \(2\). Dostáváme \(x_1 = 1 \pmod 2\) a z předchozích vyjádření \(x_2 = 0 \pmod 2\), \(x_3 = 1 \pmod 2\) a \(x_4 = 0 \pmod 2\). Povšimneme si, že získaná řešení soustavě vyhovují.

• Výsledek

  \(x_1 = x_3 = 1 \pmod 2\), \(x_2 = x_4 = 0 \pmod 2\).

• Varianta 2

  \(p = 3\).

• Řešení

  Podobně jako v předchozí variantě dojdeme k \(3x_1 = 1\). Při počítání modulo \(3\) ale tato rovnice nemůže mít řešení, jelikož na levé straně je číslo dělitelné \(3\), ale na pravé nikoliv.

• Výsledek

  Nemá řešení.

• Varianta 3

  \(p = 5\).

• Řešení

  Podobně jako v předchozí variantě dojdeme k \(3x_1 = 1\), \(x_2 = 1 - x_1\), \(x_3 = 1 - x_2\), \(x_4 = -x_2\) (tentokrát vše modulo \(5\)).

  Uvědomíme si, že \(x_1 = 2 \pmod 5\) je jediné řešení. Totiž je řešením, a že je jediné, buď ověříme rozborem případů nebo využijeme toho, že \(\mathbb Z_5\) je těleso.

  Dosazováním dostáváme \(x_2 = -1 = 4 \pmod 5\), \(x_3 = 2 \pmod 5\) a \(x_4 = 1 \pmod 5\). Opět ověříme, že se jedná o řešení.