Srovnání množin řešení

Úloha číslo: 3242

S pomocí elementárních úprav rozhodněte, které z následujících homogenních soustav lineárních rovnic mají totožná řešení.
\[\begin{alignat}{8} x_1 &\ +\ & 3x_2 & & &\ +\ & 4x_4 &\ =\ &0\tag{A}\\ 2x_1 &\ +\ & x_2 &\ +\ & 3x_3 & & &\ =\ &0\notag\\ 3x_1 & & &\ +\ & x_3 &\ +\ & 2x_4 &\ =\ &0\notag \end{alignat}\]
\[\begin{alignat}{8} x_1 &\ -\ & 2x_2 &\ +\ & 3x_3 &\ -\ & 4x_4 &\ =\ &0\tag{B}\\ x_1 &\ +\ & 3x_2 & & &\ +\ & 4x_4 &\ =\ &0\notag\\ 9x_1 & & &\ +\ & 3x_3 &\ +\ & 6x_4 &\ =\ &0\notag \end{alignat}\]
\[\begin{alignat}{8} 3x_1 &\ +\ & 4x_2 &\ +\ & 3x_3 &\ +\ & 4x_4 &\ =\ &0\tag{C}\\ x_1 &\ +\ & 3x_2 & & &\ +\ & 4x_4 &\ =\ &0\notag\\ 2x_1 &\ +\ & x_2 &\ +\ & 3x_3 & & &\ =\ &0\notag \end{alignat}\]
\[\begin{alignat}{8} 3x_1 & & &\ +\ & x_3 &\ +\ & 2x_4 &\ =\ &0\tag{D}\\ 3x_1 &\ +\ & 9x_2 & & &\ +\ &12x_4 &\ =\ &0\notag\\ 3x_1 &\ +\ & 4x_2 &\ +\ & 3x_3 &\ +\ & 4x_4 &\ =\ &0\notag \end{alignat}\]
\[\begin{alignat}{8} 2x_1 &\ +\ & 6x_2 & & &\ +\ & 8x_4 &\ =\ &0\tag{E}\\ x_1 &\ -\ & x_2 &\ -\ & 2x_3 &\ +\ & 2x_4 &\ =\ &0\notag\\ 4x_1 &\ +\ & 3x_2 &\ +\ & 1x_3 &\ +\ & 6x_4 &\ =\ &0\notag\\ 2x_1 &\ +\ & x_2 &\ +\ & 3x_3 & & &\ =\ &0\notag \end{alignat}\]
\[\begin{alignat}{8} 4x_1 &\ +\ & 2x_2 &\ +\ & 6x_3 & & &\ =\ &0\tag{F}\\ 3x_1 & & &\ +\ & x_3 &\ +\ & 2x_4 &\ =\ &0\notag\\ 3x_1 &\ -\ & x_2 &\ +\ & 6x_3 &\ +\ & 4x_4 &\ =\ &0\notag \end{alignat}\]
\[\begin{alignat}{8} x_1 &\ +\ & 3x_2 & & &\ +\ & 4x_4 &\ =\ &0\tag{G}\\ &\ -\ & 5x_2 &\ + \ & 3x_3 &\ -\ & 8x_4 &\ =\ &0\notag\\ &\ -\ & 9 x_2&\ + \ & x_3 &\ -\ &10x_4 &\ =\ &0\notag \end{alignat}\]
\[\begin{alignat}{8} 6x_1 & & &\ +\ & 2x_3 &\ +\ & 4x_4 &\ =\ &0\tag{H}\\ & & x_2 &\ -\ & 5x_3 &\ -\ & 2x_4 &\ =\ &0\notag\\ 2x_1 &\ +\ & x_2 &\ +\ & 3x_3 & & &\ =\ &0\notag \end{alignat}\]

  • Nápověda

    Obecně lze úlohu vyřešit např. srovnáním hodností matic původních a sloučených úloh (to ale v této chvíli ještě neznáme).

    Alternativně lze hledat nějaký jednoznačný odstupňovaný tvar, např. Gauss-Jordanovou eliminací (všechny pivoty 1, v sloupcích nad pivoty samé 0).

    My se pokusíme uhodnout elementární úpravy na \(A\) vedoucí k matici soustavy \(B\) (stačí nerozšířené matice neboť všechny soustavy jsou homogenní).

  • Řešení

    \[ A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 4 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 4 \\ 9 & 0 & 3 & 6 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 1 & 3 & 0 & 4 \\ 9 & 0 & 3 & 6 \\ \end{pmatrix} =B \]

    \[ A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 0 & 4 \\ 3 & 4 & 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 9 & 0 & 12 \\ 3 & 4 & 3 & 4 \\ \end{pmatrix} =D \]

    \[ A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 4 \\ 1 &-1 &-2 & 2 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 2 & 6 & 0 & 8 \\ 1 &-1 &-2 & 2 \\ 4 & 3 & 1 & 6 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ \end{pmatrix} =E \]

    \[ A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 4 \\ 0 &-5 & 3 &-8 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 4 \\ 0 &-5 & 3 &-8 \\ 0 &-9 & 1 &-10\\ \end{pmatrix} =G \]

    \[ F= \begin{pmatrix} 4 & 2 & 6 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \\ 3 &-1 & 6 & 4 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 & 2 \\ 3 &-1 & 6 & 4 \\ 4 & 2 & 6 & 0 \\ \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 &-5 &-2 \\ 4 & 2 & 6 & 0 \\ \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 6 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 1 &-5 &-2 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ \end{pmatrix} =H \]

    \[ C= \begin{pmatrix} 3 & 4 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ \end{pmatrix} \]

    Pro důkaz různosti množin řešení je třeba ukázat, že neexistuje žádná přípustná lineární kombinace jak vyjádřit nějaký nový řádek z původních. To vede k soustavě lin. rovnic, která nemá žádné řešení.

    Pro náš případ ukážeme, že poslední řádek matice \(F\) se nedá vyjádřit jako lineární kombinace řádků z matice \(A\). Musely by existovat \(x,y,z\) tak, že
    \((3,-1{,}6,4)=x(1{,}3,0{,}4)+y(2{,}1,3{,}0)+z(3{,}0,1{,}2)\), což vede k rozšířené matici jež nepřipouští žádné řešení:

    \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 3 \\ 3 & 1 & 0 &-1 \\ 0 & 3 & 1 & 6 \\ 4 & 0 & 2 & 4 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 3 \\ 3 & 1 & 0 &-1 \\ -4 & 0 &-2 & 4 \\ 4 & 0 & 2 & 4 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 3 \\ 3 & 1 & 0 &-1 \\ -4 & 0 &-2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \\ \end{pmatrix} \]

  • Výsledek

    Soustavy A, B, D, E, G mají shodná řešení a také soustavy F a H.

    Soustava C je jen "částí" A, její množina řešení je tedy širší.

Obtížnost: Obtížná úloha
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
En translation
	Zaslat komentář k úloze