Sbírka matematických úloh

Soustavy III.

Úloha číslo: 2372

• Varianta 1

  \[\begin{alignat*}{7}2 x_1 &-& 3x_2 &+& 2x_3 &=\ & 1 \\ x_1 &-& 2x_2 &+& x_3 &=\ & 0 \\ 5 x_1 &-& 9x_2 &+& 5x_3 &=\ & 1 \\ \end{alignat*}\]

• Nápověda

  Sestavíme matici soustavy a převedeme ji na odstupňovaný tvar. Poté zpětnou substitucí popíšeme všechna řešení.

• Řešení

  \( \begin{pmatrix} \begin{array}{ccc|c} 2 & -3 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 5 & -9 & 5 & 1 \\ \end{array} \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array} \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \end{pmatrix} \)
  \(x_3\) je volná proměnná, zavedeme za ni parametr \(x_3=p\). Z druhé rovnice máme přímo \(x_2=1\) a z první \(x_1-2+p=0\) plyne \(x_1=2-p\). Řešením je tedy \(\mathbf x=(2{,}1,0)^T+p(-1{,}0,1)^T\).

  Zkoušku provedeme dosazením včetně parametrů.

  \[\begin{alignat*}{9}2 (2-p) &-& 3{\cdot} 1 &+& 2p &=\ & 4-2p-3+2p &=\ & 1 \\ 2-p &-& 2{\cdot} 1 &+& p &=\ & 2-p-2+p &=\ & 0 \\ 5 (2-p) &-& 9{\cdot} 1 &+& 5p &=\ & 10-5p-9+5p&=\ & 1 \\ \end{alignat*}\]

• Varianta 2

  \[\begin{alignat*}{9} & & x_2 & & &+& x_4 &=\ & 1 \\ 3 x_1 &-& 2x_2 &-& 3x_3 &+& 4x_4 &=\ & -2 \\ x_1 &+& x_2 &-& x_3 &+& x_4 &=\ & 2 \\ x_1 & & &-& x_3 & & &=\ & 1 \end{alignat*}\]

• Výsledek

  \(\mathbf x=(1,\frac{3}{2},0,-\frac{1}{2})^T+p(1{,}0,1{,}0)^T\).

• Varianta 3

  \[\begin{alignat*}{9} - x_1 &+& x_2 &-& 3x_3 &+& 4x_4 &=\ & 1 \\ 2x_1 &-& x_2 &+& 4x_3 &-& 7x_4 &=\ & 0 \\ - x_1 &-& x_2 &+& x_3 &+& 2x_4 &=\ & -3 \\ - x_1 &+& 2x_2 &-& 5x_3 &+& 5x_4 &=\ & 3 \\ \end{alignat*}\]

• Výsledek

  \(\mathbf x=(1{,}2,0{,}0)^T+p(-1{,}2,1{,}0)^T+q(3,-1{,}0,1)^T\)

• Varianta 4

  \[\begin{alignat*}{9} - x_1 &+& 2x_2 &+& x_3 &+& 4x_4 &=\ & 3 \\ -2x_1 &+& 4x_2 &+& x_3 &+& 7x_4 &=\ & 5 \\ x_1 &-& 2x_2 &+& x_3 &-& 2x_4 &=\ & -1 \\ - x_1 &+& 2x_2 &+& 2x_3 &+& 5x_4 &=\ & 4 \\ \end{alignat*}\]

• Výsledek

  \(\mathbf x=(-2{,}0,1{,}0)^T+p(2{,}1,0{,}0)^T+q(3{,}0,-1{,}1)^T\)