Po sobě jdoucí jedničky
Úloha číslo: 3511
Mějme náhodnou posloupnost sta čísel, kdy každé číslo v posloupnosti je 0 nebo 1 a obě možnosti nastávají s pravděpodobností \(1/2\) nezávisle na ostatních členech posloupnosti. Určete střední hodnotu počtu po sobě jdoucích šestic jedniček. (Popř. zobecněte pro posloupnosti \(n\) čísel a po sobě jdoucí \(k\)-tice jedniček.)
Řešení
Pro \(i=1,…,95\) zavedeme jev \(A_i\), obsahující ty posloupnosti, mající na pozicích \(i,i+1,…,i+5\) jedničky. Platí \(P[A_i]=\left(\frac12\right)^6=\frac{1}{64}\).
Veličinu \(X\) si zapíšeme jako součet indikátorových náhodných veličin pro jevy \(A_1,…,A_{95}\).
Z linearity střední hodnoty dostaneme:
\(\displaystyle E(X)=E(I_{A_1}+…=I_{A_{95}})=95P(A_1)=\frac{95}{64} \)
Odpověď
Střední hodnota počtu po sobě jdoucích šestic jedniček je \(\frac{95}{64}\).
V obecném případě dostaneme hodnotu \(\frac{n-k+1}{2^k}\).