Po sobě jdoucí jedničky

Úloha číslo: 3511

Mějme náhodnou posloupnost sta čísel, kdy každé číslo v posloupnosti je 0 nebo 1 a obě možnosti nastávají s pravděpodobností \(1/2\) nezávisle na ostatních členech posloupnosti. Určete střední hodnotu počtu po sobě jdoucích šestic jedniček. (Popř. zobecněte pro posloupnosti \(n\) čísel a po sobě jdoucí \(k\)-tice jedniček.)

  • Řešení

    Pro \(i=1,…,95\) zavedeme jev \(A_i\), obsahující ty posloupnosti, mající na pozicích \(i,i+1,…,i+5\) jedničky. Platí \(P[A_i]=\left(\frac12\right)^6=\frac{1}{64}\).

    Veličinu \(X\) si zapíšeme jako součet indikátorových náhodných veličin pro jevy \(A_1,…,A_{95}\).

    Z linearity střední hodnoty dostaneme:

    \(\displaystyle E(X)=E(I_{A_1}+…=I_{A_{95}})=95P(A_1)=\frac{95}{64} \)

  • Odpověď

    Střední hodnota počtu po sobě jdoucích šestic jedniček je \(\frac{95}{64}\).

    V obecném případě dostaneme hodnotu \(\frac{n-k+1}{2^k}\).

Obtížnost: Snadná úloha (řešená úvahou nebo přímo z definic)
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
En translation
	Zaslat komentář k úloze