Sbírka matematických úloh

Rozdělení roviny

Úloha číslo: 3297

• Varianta

  Dokažte, že počet částí roviny při rozdělení $n$ přímkami je nejvýše $1+\frac{1}{2}(n^2+n)$.

• Řešení

  Označme si $P(n)=1+\frac{1}{2}(n^2+n)$

  Pro $n=1$: jednou přímkou je rovina rozdělena na dvě části, přičemž $P(1)=1+\frac{1}{2}(1^2+1)=2$.

  Indukční krok $n-1 \to n$:
  Nově přidaná přímka protne stávajících $n-1$ přímek a rozdělí se tím na nejvýše $n$ částí (dvě polopřímky a $n-2$ úseček). Každá tato část rozdělí nějakou část roviny na dvě nové, tedy

  $P(n)=P(n-1)+n=1+\frac{1}{2}\left((n-1)^2+(n-1)\right)=\\ =1+\frac{1}{2}\left(n^2-2n+1+n-1+2n\right)= 1+\frac{1}{2}(n^2+n)$

• Varianta

  Pokuste se odvodit podobnou hranici pro rozdělení prostoru rovinami.

• Řešení

  Označme si $S(n)$ hledaný počet částí prostoru.

  Zkusmo zjistíme, že $S(1)=2, S(2)=4, S(3)=8, S(4)=15$, atd.

  Nově přidaná rovina protne stávajících $n-1$ rovin a rozdělí se tím na nejvýše $P(n-1)=1+\frac{1}{2}(n^2-n)$ částí. Každá tato část roviny rozdělí nějakou část prostoru na dvě nové, tedy

  $S(n)=S(n-1)+1+\frac{1}{2}(n^2-n)= 1+\sum\limits_{i=1}^n\left(1+\frac{1}{2}(n^2-n)\right)= n+1+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^n i^2 -\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^n i$,

  což už dopočteme s využitím vzorců pro součet řad.

• Odpověď

  Pomocí $n$ rovin lze třírozměrný prostor rozdělit na nejvýše $\displaystyle \frac16 n^3 + \frac56 n + 1$ částí.