Rozdělení roviny

Dokažte:

Varianta
Dokažte, že počet částí roviny při rozdělení \(n\) přímkami je nejvýše \(1+\frac{1}{2}(n^2+n)\).
Řešení
Označme si \(P(n)=1+\frac{1}{2}(n^2+n)\)

Pro \(n=1\): jednou přímkou je rovina rozdělena na dvě části, přičemž \(P(1)=1+\frac{1}{2}(1^2+1)=2\).

Indukční krok \(n-1 \to n\):
Nově přidaná přímka protne stávajících \(n-1\) přímek a rozdělí se tím na nejvýše \(n\) částí (dvě polopřímky a \(n-2\) úseček). Každá tato část rozdělí nějakou část roviny na dvě nové, tedy

\(P(n)=P(n-1)+n=1+\frac{1}{2}\left((n-1)^2+(n-1)\right)=\\ =1+\frac{1}{2}\left(n^2-2n+1+n-1+2n\right)= 1+\frac{1}{2}(n^2+n)\)
Varianta
Pokuste se odvodit podobnou hranici pro rozdělení prostoru rovinami.
Řešení
Označme si \(S(n)\) hledaný počet částí prostoru.

Zkusmo zjistíme, že \(S(1)=2, S(2)=4, S(3)=8, S(4)=15\), atd.

Nově přidaná rovina protne stávajících \(n-1\) rovin a rozdělí se tím na nejvýše \(P(n-1)=1+\frac{1}{2}(n^2-n)\) částí. Každá tato část roviny rozdělí nějakou část prostoru na dvě nové, tedy

\( S(n)=S(n-1)+1+\frac{1}{2}(n^2-n)= 1+\sum\limits_{i=1}^n\left(1+\frac{1}{2}(n^2-n)\right)= n+1+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^n i^2 -\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^n i\),

což už dopočteme s využitím vzorců pro součet řad.
Odpověď
Pomocí \(n\) rovin lze třírozměrný prostor rozdělit na nejvýše \(\displaystyle \frac16 n^3 + \frac56 n + 1 \) částí.