Součty řad
Úloha číslo: 3696
S pomocí vytvořujících funkcí sečtěte následující řady:
Varianta
\(\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2\)
Nápověda
Pokuste se použít konvoluci dvou posloupností.
Řešení
Označíme-li si
\(\displaystyle c_n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2,\ a_k= \binom{n}{k},\ b_{n-k}=\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\) neboli \(b_k=a_k\), a \(\displaystyle c_n=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}\),
zjistíme, že vytvořující funkce posloupnosti \((a_n)_{n=0}^\infty\) je \(\displaystyle a(x)=b(x)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k=(1+x)^n\),
a odtud \(\displaystyle c(x)=a(x)b(x)=(1+x)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}x^k\).
Hledaný součet řady je koeficient u \(x^n\).
Odpověď
Součet řady je \(\displaystyle\binom{2n}n\).
Varianta
\(\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k{n \choose k}^2\)
Odpověď
Součet řady je koeficient u \(x^n\) v polynomu \((1-x)^n(1+x)^n\). neboli \(\binom{n}{n/2} (-1)^{n/2}\) pro sudá \(n\), jinak \(0\),
Varianta
\(\displaystyle \sum_{k=0}^n k\cdot 2^k\)
Nápověda
Postup 1: Zderivujte funkci pro součet řady \(1+x+x^2+…+x^n\).
Postup 2 (obecnější): Využijte vztah pro vytvořující funkci částečných součtů posloupnosti.
Řešení
Postup 1:
Označíme-li: \(\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^n x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \),
potom derivací dostaneme
\(\displaystyle f'(x)=\sum_{k=0}^n k x^{k-1} = \frac{-(n+1)x^n(1-x)-(-1)(1-x^{n+1})}{(1-x)^2}= \frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(1-x)^2} \).
Dosadíme-li nyní \(x=2\), dostaneme
\(\displaystyle \sum_{k=0}^n k 2^k = 2 \sum_{k=0}^n k 2^{k-1} = 2 f'(2) = 2\cdot\frac{n2^{n+1}-(n+1)2^n+1}{(1-2)^2}= (n-1) 2^{n+1}+2 \).
Postup 2: označíme-li \(a_k=k\cdot 2^k\) a \(\displaystyle s_n=\sum_{k=0}^n k\cdot 2^k=\sum_{k=0}^n a_k\),
potom mezi vytvořujícími funkcemi \(\displaystyle s(x)=\sum_{n=0}^\infty s_nx^n\) a \(\displaystyle a(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\)
platí vztah \(\displaystyle s(x)=\frac{a(x)}{1-x}\), protože \((s_n)_{n=0}^\infty\) je posloupnost částečných součtů posloupnosti \((a_n)_{n=0}^\infty\).
Vytvořující funkci posloupnosti \((a_n)_{n=0}^\infty\) získáme z vytvořující funkce aritmetické posloupnosti \((1{,}2,3,…)\) posunem doprava a dosazením \(2x\), neboli
\(\displaystyle a(x)=\frac{2x}{(1-2x)^2}\) a \(\displaystyle s(x)=\frac{2x}{(1-2x)^2(1-x)}\).
Abychom nyní vyjádřili \(s(x)\) jako řadu, je třeba podíl rozložit na parciální zlomky a každý z těchto zlomků vyjádřit řadou pomocí zobecněné binomické věty.
\(\displaystyle s(x)=\frac{2x}{(1-2x)^2(1-x)}= \frac{2}{1-x}+\frac{2}{(1-2x)^2}-\frac{4}{1-2x}= 2\sum_{n=0}^\infty x^n + 2 \sum_{n=0}^\infty \binom{n+1}{1}(2x)^n - 4 \sum_{n=0}^\infty (2x)^n = \sum_{n=0}^\infty (2 + 2 (n+1) 2^n - 4 {\cdot} 2^n) x^n = \sum_{n=0}^\infty ((n-1) 2^{n+1}+2) x^n \)
Odpověď
Součet řady je \((n-1) 2^{n+1}+2\).
Varianta
\(\displaystyle \sum_{k=0}^n k {n \choose k}\)
Nápověda
Vytknutím \(n\) z kombinačního čísla.
Odpověď
\(n2^{n-1}\),
Varianta
\(\displaystyle \sum_{k=0}^n k^2 {n \choose k}\)
Nápověda
Vytknutím \(n(n-1)\) z kombinačního čísla a použitím předchozí varianty.
Odpověď
\(n(n+1)2^{n-2}\)