Týmy na volejbal
Úloha číslo: 4488
Řešení
Počet možností, jak rozdělit 12 hráčů na dva neoznačené týmy po 6 (čili pokud u týmů nerozlišujeme, ani je jinak nepojmenujeme) je \(\tfrac12\binom{12}6\).
Počet možností, jak rozdělit 11 hráčů na dva týmy je \(\binom{11}{5}\), což lze též jinak vyjádřit jako \(\binom{11}{6}\).
Protože pro tyto binomické koeficienty platí \(\binom{12}6=\binom{11}{5}+\binom{11}{6}\) (viz např. Pascalův trojúhelník), vidíme, že \(\tfrac12\binom{12}6=\binom{11}{5}\), čili počet možností se nezmění.
I bez výpočtu lze ke stejnému výsledku dospět úvahou, že každé rozdělení na 5+6 hráčů lze jednoznačně doplnit na rozdělení 6+6 přičleněním Jirky do pětičleného týmu a obráceně, že odchodem Jirky se z každého rozdělení 6+6 získá unikátní rozdělení 5+6.
Odpověď
Počet možností se nezmění, v obou případech bude \(\tfrac12\binom{12}6=\binom{11}{5}=462\).
