Čísla nedělitelná 6, 10 a 14

Úloha číslo: 3471

Určete počet přirozených čísel mezi 1 a 840, která nejsou dělitelná 6, 10 ani 14.

  • Řešení

    Označme \(A_1\) množinu násobků šesti z \(\{1,…,840\}\), podobně \(A_2\) násobky 10 a \(A_3\) násobky 14. Společné násobky 6 a 10, t.j. \(A_1\cap A_2\) označíme \(A_{1{,}2}\), atd.

    Potom \(|A_1|=\left\lfloor \frac{840}{6}\right\rfloor=140\), \(|A_2|=\left\lfloor \frac{840}{10}\right\rfloor=84\), \(|A_3|=\left\lfloor \frac{840}{14}\right\rfloor=60\), \(|A_{1{,}2}|=\left\lfloor \frac{840}{nsn(6{,}10)}\right\rfloor=\left\lfloor \frac{840}{30}\right\rfloor=28\), \(|A_{1{,}3}|=\left\lfloor \frac{840}{nsn(6{,}14)}\right\rfloor=\left\lfloor \frac{840}{42}\right\rfloor=20\), \(|A_{2{,}3}|=\left\lfloor \frac{840}{nsn(10{,}14)}\right\rfloor=\left\lfloor \frac{840}{70}\right\rfloor=12\) a \(|A_{1{,}2,3}|=\left\lfloor \frac{840}{nsn(6{,}10,14)}\right\rfloor=\left\lfloor \frac{840}{210}\right\rfloor=4\).

    Podle principu inkluze a exkluze je násobků 6, 10 nebo 14 celkem \(|A_1\cup A_2\cup A_3|=|A_1|+|A_2|+|A_3|-|A_{1{,}2}|-|A_{1{,}3}|-|A_{2{,}3}|+|A_{1{,}2,3}|=\\ =140+84+60-28-20-12+4=228.\)

  • Odpověď

    Hledaných čísel je 228.

Obtížnost: Snadná úloha (řešená úvahou nebo přímo z definic)
Úloha na trénování výpočtu
En translation
	Zaslat komentář k úloze