Obecná poloha

Úloha číslo: 3723

Dokažte, že pro konečnou projektivní rovinu dostatečně vysokého řádu platí zobecnění axiomu pro čtveřice:

Pro každé \(k \in \mathbb N\) existuje \(n \in \mathbb N\) takové, že pro \((X,\mathcal P)\) konečnou projektivní rovinu řádu alespoň \(n\) existuje \(k\) bodů v obecné poloze, tedy množina \(K \subseteq X, |K|=k\) splňující \(\forall P\in\mathcal P: |K\cap P|\le 2\).

  • Nápověda

    Nejprve zkuste zkonstruovat projektivní rovinu s pětiprvkovou množinou v obecné poloze.

    Poté postup zobecně pro použití matematickou indukcí podle \(k\).

  • Řešení

    Nechť \(n_k\) je nejmenší číslo takové, že každá projektivní rovina řádu \(n_k\) obsahuje \(k\) bodů v obecné poloze. Z axiomů projektivní roviny víme, že \(n_4=2\).

    Nejprve pro pětici: máme-li projektivní rovinu řádu \(n\) a v ní čtyřprvkovou množinu bodů v obecné poloze \(K_4\), potom tyto čtyři body určují \(\binom{4}{2}\) přímek. Na těchto přímkách leží nejvýše \(\binom{4}{2}(n+1)\) bodů. (Ve skutečnosti přesně \(\binom{4}{2}(n+1)-8\), to by ale naši úvahu jen komplikovalo.) Pokud je celkový počet bodů v množině \(X\) vyšší, než počet bodů ležících na přímkách určených \(K_4\), potom existuje bod \(x\in X\), který neleží na žádné přímce určené body \(K_4\). Množina \(K_4\cup \{x\}\) je hledaná pětiprvková v obecné poloze. Aby \(|X|=n^2+n+1>\binom{4}{2}(n+1)\) stačí řád \(n\ge \binom{4}{2}=6\). Odtud \(n_5\le 6\).

    Indukcí ukážeme \(n_{k+1}\le \binom{k}{2}\). Předpokládejme, že uvedený odhad platí pro \(k\), a že je dána projektivní rovina řádu alespoň \(\binom{k}{2}\). Protože \(\binom{k}{2}\ge \binom{k-1}{2}\ge n_{k}\), tato projektivní rovina obsahuje podle indukčního předpokladu \(k\)-prvkovou množinu \(K_k\) v obecné poloze. Body \(K_k\) určují \(\binom{k}{2}\) přímek. Na těchto přímkách leží nejvýše \(\binom{k}{2}\left(\binom{k}{2}+1\right)\) bodů. Protože je však celkový počet bodů \(\binom{k}{2}^2+\binom{k}{2}+1\), existuje bod \(x\) mimo uvedené přímky. Množina \(K_k\cup \{x\}\) je hledaná \((k+1)\)-prvková v obecné poloze.

Obtížnost: Středně těžká úloha
Úloha na dokazování, ověřování
En translation
	Zaslat komentář k úloze