Spot It / Dobble
Úloha číslo: 3719
Ve hře Spot it (v Evropě prodávané pod názvem Dobble) je 55 karet, přičemž na každé kartě je 8 symbolů a každé dvě karty mají právě jeden symbol společný.
V návodu se dočtete, že ve hře najdete přes 50 různých symbolů. Dokažte, že jich musí být ještě o trochu více.
Nápověda
Uvažte počet výskytů nějakého symbolu.
Řešení
Kdyby každý symbol měl nejvýše 7 výskytů, potom by ve hře mohlo být nejvýše 49 karet: Pro zvolenou kartu musí každá jiná mít alespoň jeden symbol společný, což dává \(1+8{\cdot}6\) karet (zvolená karta + počet symbolů na ní \(*\) počet zbylých výskytů).
Některý symbol se proto vyskytuje alespoň osmkrát. Vezmeme-li 8 karet s tímto symbolem, ostatní symboly na těchto osmi kartách už musejí být různé. Proto je celkový počet symbolů alespoň \(1+7{\cdot}8=57\).
Poznámka: Karty ve hře odpovídají vybraným 55 přímkám (z celkového počtu 57) projektivní roviny řádu 7, a symbolů je použito 57.
Odpověď
Hra musí obsahovat alespoň 57 různých symbolů.