Odhad součtu řady
Úloha číslo: 3680
Odhadněte součet řady \(\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}}\).
Řešení
Buď integrálem, nebo využitím odhadů:
\(\frac{1}{\sqrt{k}} \geq \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = 2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})\) a
\(\frac{1}{\sqrt{k}} \leq \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}} = 2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})\)
dostáváme \(2(\sqrt{n+1}-1) \leq \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} \leq 2\sqrt{n}\).
Horní odhad lze zlepšit na \(2\sqrt{n}-1\).