Odhad součtu řady

Úloha číslo: 3680

Odhadněte součet řady \(\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}}\).

  • Řešení

    Buď integrálem, nebo využitím odhadů:

    \(\frac{1}{\sqrt{k}} \geq \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = 2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})\) a

    \(\frac{1}{\sqrt{k}} \leq \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}} = 2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})\)

    dostáváme \(2(\sqrt{n+1}-1) \leq \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} \leq 2\sqrt{n}\).

    Horní odhad lze zlepšit na \(2\sqrt{n}-1\).

Obtížnost: Snadná úloha (řešená úvahou nebo přímo z definic)
Úloha na trénování výpočtu
En translation
	Zaslat komentář k úloze