PIE
Úloha číslo: 3666
Je zadána úloha určit počet čísel z intervalu \(\{1,\dots,100\}\) soudělných s číslem 660.
Řešení vede na výpočet mohutnosti sjednocení několika množin, na což lze použít princip inkluze a exkluze. PIE vyjadřuje mohutnost sjednocení jako součet mohutností vhodných průniků vynásobených patřičnými znaménky.
Pro výše uvedenou úlohu rozhodněte, kolik sčítanců v tomto součtu bude nenulových, neboli kolik uvažovaných průniků bude neprázdných.
- 12
- 15
- 16
Řešení
Číslo 660 má následující prvočíselné dělitete: 2, 3, 5 a 11, což vede na PIE se čtyřmi množinami: násobky těchto čtyř prvočísel.
Výraz na PIE má tedy 15 sčítanců. Některé průniky budou prázdné a to tehdy, když součin odpovídajících prvočísel bude větší než 100. Konkrétně jde o případy: \(2{\cdot} 5\cdot 11\), \(3{\cdot} 5\cdot 11\), \(2{\cdot} 3\cdot 5{\cdot} 11\).
Odpověď
Správná odpověď je a.