Dělitelnost faktoriálu 50
Úloha číslo: 3673
Jakou nejvyšší mocninou 5 je dělitelné 50! ? Určete obecný vzorec pro prvočíslo \(p\) a faktoriál čísla \(n\).
Řešení
Za každý násobek 5 v množině \(\{1{,}2,…,50\}\) se do exponentu nad 5 v prvočíselném rozkladu \(50!\) započte 1.
Podobně, za každý násobek \(25=5^2\) se započte navíc další 1.
Konkrétně, násobky \(5\) se v rozkladu \(50!\) vyskytují \(\left\lfloor\frac{50}5\right\rfloor\)-krát a násobky \(25\) zase \(\left\lfloor\frac{50}{25}\right\rfloor\)-krát, celkem je 5 v rozkladu \(50!\) dvanáctkrát.
Obecný vzorec pro prvočísla \(p_1=2,p_2=3,…\) je
\(n!=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_r^{k_r}\), kde \( k_i=\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\log_{p_i}n\rfloor} \left\lfloor\frac{n}{p_i^j}\right\rfloor\)
Odpověď
Nejvyšší mocnina pěti, která dělí výraz \(50!\) je dvanáctá mocnina pěti.