Dělitelnost faktoriálu 50

Úloha číslo: 3673

Jakou nejvyšší mocninou 5 je dělitelné 50! ? Určete obecný vzorec pro prvočíslo \(p\) a faktoriál čísla \(n\).

  • Řešení

    Za každý násobek 5 v množině \(\{1{,}2,…,50\}\) se do exponentu nad 5 v prvočíselném rozkladu \(50!\) započte 1.

    Podobně, za každý násobek \(25=5^2\) se započte navíc další 1.

    Konkrétně, násobky \(5\) se v rozkladu \(50!\) vyskytují \(\left\lfloor\frac{50}5\right\rfloor\)-krát a násobky \(25\) zase \(\left\lfloor\frac{50}{25}\right\rfloor\)-krát, celkem je 5 v rozkladu \(50!\) dvanáctkrát.

    Obecný vzorec pro prvočísla \(p_1=2,p_2=3,…\) je

    \(n!=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_r^{k_r}\), kde \( k_i=\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\log_{p_i}n\rfloor} \left\lfloor\frac{n}{p_i^j}\right\rfloor\)

  • Odpověď

    Nejvyšší mocnina pěti, která dělí výraz \(50!\) je dvanáctá mocnina pěti.

Obtížnost: Snadná úloha (řešená úvahou nebo přímo z definic)
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
En translation
	Zaslat komentář k úloze