Hra s kostkami

Úloha číslo: 3515

Jste na ulici osloveni podivnou existencí, abyste si s ním zahráli kostky o peníze podle následujících pravidel. Hraje se se třemi kostkami, každá z nich má pět stran prázdných a jen na jedné straně je číslo: první má 7, druhá 11, třetí 13. Vložíte-li do hry 20 korun vyhrajete tolik korun, kolik je součin čísel, které po hodu uvidíte – v šťastném případě i přes tisícovku. Častěji však nevyhrajete nic, to v případě, že všechny tři kostky padly prázdnou stranou vzhůru.

Vklad se vám zdál moc velký, po chvíli jste ho usmlouvali na 16 korun, a nakonec i po velkých dohadech na 15,50.

Kdo by při dlouhodobém hraní za těchto pravidel vydělával – vy nebo onen hazardní hráč? (Předpokládejme, že kostky jsou spravedlivé, apod.)

  • Řešení

    Nejprve si hru trochu pozměníme, a představíme si, že na prázdných stranách jsou jedničky.

    Zavedeme tři náhodné proměnné odpovídající průměrným hodům na každé se tří kostek. Snadno spočítáme, že první veličina má střední hodnotu 2, druhá \(\frac83\) a třetí 3. Tyto náhodné veličiny jsou nezávislé, tedy střední hodnota výhry v pozměněné hře je \(2 \cdot \frac83 {\cdot} 3=16\). Zdá se, že usmlouváme-li vklad pod 16 korun, můžeme v dlouhodobé perspektivě vydělávat.

    Ovšem v původní hře měly kostky zbylé strany prázdné, nikoli s jedničkami. Musíme proto odečíst výhry, kdy by padly samé jedničky. Tato událost má pravděpodobnost \(\left(\frac{5}{6}\right)^3=\frac{125}{216}\) a o stejnou částku musíme snížit střední hodnotu výhry (rozmyslete si, proč).

    Střední hodnota výhry v původní hře činí \(16-\frac{125}{216}\doteq 15{,}42<15{,}5\).

  • Odpověď

    Ani takové hazardní hry na ulici nehrajte, mírně při nich proděláte.

Obtížnost: Obtížná úloha
Komplexní úloha
En translation
	Zaslat komentář k úloze