Sedm večeří

Úloha číslo: 3477

Petr Štědrý pořádá každý večer večeři pro své přátele. Na večeři jsou pozvaní vždy tři hosté. Kolika způsoby může Petr rozeslat pozvánky pro svých 7 přátel na celý týden tak, že každý z těchto sedmi přátel je alespoň jednou pozván?

  • Řešení

    Na jedné večeři se objeví jedna ze \(\binom73\) možných trojic, na celý týden jde o \(\binom73^7\) možností, i když zde jsou započítány i ty možnosti, kdy se někdo nedostaví. Nedostaví-li se konkrétní jedinec, jde o podobnou úvahu se šesti hosty, tedy o \(\binom63^7\). Nedostaví-li se dva přátelé, jde o \(\binom53^7\), ovšem tuto dvojici lze zvolit \(\binom72\) způsoby. Podobně pokračujeme i nedostaví-li se více přátel.

    Je možné dopočítat i konkrétní číselný výsledek: \( \binom{7}{3}^7 - 7 \binom{6}{3}^7 + 21 \binom{5}{3}^7 - 35 \binom{4}{3}^7 + 35 \binom{3}{3}^7=35^7-7{\cdot} 20^7+21{\cdot}10^7-35{\cdot}4^7+35\\=55\,588\,723\,470 \)

  • Odpověď

    Celkem je \( \binom{7}{3}^7 - 7 \binom{6}{3}^7 + 21 \binom{5}{3}^7 - 35 \binom{4}{3}^7 + 35 \binom{3}{3}^7=55\,588\,723\,470 \) možností pozvání.

Obtížnost: Obtížná úloha
Úloha řešená úvahou
En translation
	Zaslat komentář k úloze