Moivrova věta
Úloha číslo: 3298
Dokažte indukcí Moivrovu větu: \( (\cos \alpha + i \sin\alpha)^n = \cos(n\alpha)+ i \sin(n\alpha) \)
Nápověda
Použijte vztahy:
\(\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)\),
\(\sin(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\sin(\beta)+\sin(\alpha)\cos(\beta)\).
Řešení
Pro \(n=1\) není co dokazovat, neboť \((\cos \alpha + i \sin\alpha)^1 = \cos(1\alpha)+ i \sin(1\alpha)\).
Indukční krok od \(n\) k \(n+1\):
\( \begin{equation} (\cos \alpha + i \sin\alpha)^{n+1}=\\ = (\cos \alpha + i \sin\alpha)^n(\cos \alpha + i \sin\alpha)\\ = (\cos(n\alpha)+ i \sin(n\alpha))(\cos \alpha + i \sin\alpha)\\ = \cos(n\alpha)\cos \alpha + \cos(n\alpha) i \sin\alpha +i \sin(n\alpha)\cos \alpha +i \sin(n\alpha) i \sin\alpha \\ = \cos(n\alpha)\cos \alpha - \sin(n\alpha) \sin\alpha + i(\cos(n\alpha) \sin\alpha + \sin(n\alpha)\cos \alpha) \\ = \cos((n+1)\alpha)+ i \sin((n+1)\alpha)\\ \end{equation} \)
V první úpravě jsme použili indukční předpoklad, v poslední součtové vzorce.