Sbírka matematických úloh

Národnosti

Úloha číslo: 3474

• Varianta

  Prodavač suvenýrů má na prodej tři stejné figurky papeže Jana Pavla II, čtyři Jánošíky a pět Švejků. Kolika způsoby může figurky vyrovnat do výlohy do jedné řady tak, aby se nikdy nestalo, že by všechny figurky stejné postavy tvořily souvislý blok?

• Řešení

  Všech rozestavení je \(\binom{12}{5{,}4,3}=27\,720\).

  Rozestavení, kde všichni Švejci stojí vedle sebe je \(\binom{8}{1{,}4,3}=280\) (figurku z první skupinky si lze představit jako onu pětici Švejků). Podobných rozestavení s Jánošíky vedle sebe je \(\binom{9}{5{,}1,3}=504\), a s papeži jich je \(\binom{10}{5{,}4,1}=1260\).

  Jsou-li Švejci vedle sebe a zároveň i Jánošíci, jde o \(\binom{5}{1{,}1,3}=20\) rozestavení, podobně pro Švejky a papeže \(\binom{6}{1{,}4,1}=30\) a Jánošíky a papeže \(\binom{7}{5{,}1,1}=42\). Tvoří-li všechny druhy figurek souvislé bloky, jde o \(\binom{3}{1{,}1,1}=6\) rozestavení.

  Zbývá dopočítat \(\binom{12}{5{,}4,3}-\binom{8}{1{,}4,3}-\binom{9}{5{,}1,3}-\binom{10}{5{,}4,1}+ \binom{5}{1{,}1,3}+\binom{6}{1{,}4,1}+\binom{7}{5{,}1,1}-\binom{3}{1{,}1,1}=\\ =27\,720-280-504-1260+20+30+42-6=25\,762.\)

• Odpověď

  Hledaných rozestavení je 25 762.

• Varianta

  Kolika způsoby lze postavit do řady 5 Čechů, 4 Slováky a 3 Poláky tak, aby všichni příslušníci žádného národa netvořili souvislý blok?

  Na rozdíl od předchozí varianty jsou nyní osoby navzájem rozeznatelné.

• Řešení

  Všech rozestavení je \(12!=479\,001\,600\).

  Rozestavení, kde všichni češi stojí vedle sebe je \(5!8!=4\,838\,400\) (postavu z první skupinky si lze představit jako onu pětici Čechů). Podobných rozestavení se Slováky vedle sebe je \(4!9!=8\,709\,120\), a s Maďary jich je \(3!11!=21\,772\,800\).

  Jsou-li Češi vedle sebe a zároveň i Slováci, jde o \(5!4!5!=345\,600\) rozestavení, podobně pro Čechy a Maďary \(5!3!6!=518\,400\) a Slováky s Maďary \(4!3!7!=725\,760\). Tvoří-li všechny národnosti souvislý blok, jde o \(5!4!3!3!=103\,680\) rozestavení.

  Zbývá dopočítat \(12! - 5!8! - 4!9! - 3!11! + 5!4!5! + 5!3!6! + 4!3!7! - 5!4!3!3! \\ =479\,001\,600 - 4\,838\,400 - 8\,709\,120 - 21\,772\,800 + 345\,600 + 518\,400 + 725\,760 - 103\,680\\ = 445\,167\,360\).

  Ke stejnému výsledku lze dojít i z řešení předchozí varianty uvážíme-li, že rozlišení jednotlivých osob zvýší každý člen \(5!4!3!\)-krát, čili na 17 280 násobek.

• Odpověď

  Hledaných rozestavení je 445 167 360.