Kvízová otázka
Úloha číslo: 4504
Studenti mají ve kvízu rozhodnout, zdali platí nějaké tvrzení o pravděpodobnostech jevů při hodu kostkou. Pravděpodobnost, že odpovědí správně je \(\frac23\). První dva studenti Šimon a Pavel v kvízu odpověděli stejně.
Je jisté, že odpověděli správně? Pokud ne, jaká je pravděpodobnost, že odpověděli správně?
Řešení
Pravděpodobnostní prostor má 4 elementární jevy: jev \(A\), kdy oba mají pravdu s pravděpodobností \(\frac23\cdot\frac23=\frac49\), Šimon má pravdu a Pavel ne s pravděpodobností \(\frac29\), se stejnou pravděpodobností vyjde, že Šimon pravdu nemá, ale Pavel má, a nakonec se může stát, že ani jeden pravdu nemá a tento jev má pravděpodobnost \(\frac19\).
Přidáme-li jev \(B\), že oběma vyšla stejná odpověď, je \(P(B)=\frac49+\frac19=\frac59\).
Potom \(P(A|B)=\frac{4/9}{5/9}=\frac45\).
Odpověď
Pravděpodobnost, že oba mají správný výsledek je 80 %.Varianta
Změnila by se pravděpodobnost, kdyby kvízová otázka měla pět možných odpovědí, přičemž studenti by na ni opět odpovídali správně s pravděpodobností \(\frac23\) a všechny čtyři špatné odpovědi by měly stejnou pravděpodobnost volby?Řešení
Špatné odpovědi mají pravděpodobnost \(\frac13 : 4 =\frac{1}{12}\).
Pravděpodobnost, že oba dva studenti zvolí první špatnou odpověď je \(\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{12}=\frac{1}{144}\) a že oba stejně zvolí některou ze čtyř špatných odpovědí je \(\frac{4}{144}=\frac{1}{36}\).
Nyní je pravděpodobnost jevu \(B'\), že oběma vyšla stejná odpověď, \(P(B')=\frac49+\frac1{36}=\frac{17}{36}\).
Potom \(P(A|B')=\frac{4/9}{17/36}=\frac{16}{17}\doteq 0{,}941\).
Odpověď
Pravděpodobnost se zvýší na asi 94 %.Komentář
Pravděpodobnostní prostor lze ilustrovat jako jednotkový čtverec, kde pravděpodobnost jevu odpovídá ploše příslušného obrazce a podmíněná pravděpodobnost podílu ploch.
