Odhad pomocí Čebyševovy nerovnosti

Úloha číslo: 3518

Předpokládejme, že hodíme stokrát spravedlivou kostkou. Nechť náhodná veličina \(X\) je rovna součtu hodnot všech hodů.

Pomocí Čebyševovy nerovnosti odhadněte pravděpodobnost \(P[|X-350|\ge 50]\).

  • Nápověda

    Rozložte \(X\) na součet mnoha nezávislých náhodných veličin.

    Čebyševova nerovnost \(P[|X-EX|\ge t] \le \frac{var(X)}{t^2}\).

  • Řešení

    Je-li náhodná veličina \(Y_i\) hodnota \(i\)-tého hodu jednou kostkou, je \(X=Y_1+Y_2+…+Y_{100}\), přičemž těchto sto veličin je vzájemně nezávislých.

    Pro každou veličinu \(Y_i\) platí \(EY_i=\frac72\), \(var(Y_i)=\frac{35}{12}\).

    \(EX=E[Y_1+Y_2+…+Y_{100}]=100\cdot \frac72=350\).

    \(var(X)=\sum_{i=1}^{100} var(Y_i)=\frac{3500}{12}\).

    Nyní podle Čebyševovy nerovnosti

    \(P[|X-350|\ge 50] \le \frac{3500}{12 {\cdot} 50^2}=\frac{7}{60}\doteq 0{,}117\)

  • Odpověď

    Daná pravděpodobnost je nejvýše 12 %.

Obtížnost: Středně těžká úloha
Úloha na trénování výpočtu
En translation
	Zaslat komentář k úloze