Odhad pomocí Čebyševovy nerovnosti
Úloha číslo: 3518
Předpokládejme, že hodíme stokrát spravedlivou kostkou. Nechť náhodná veličina \(X\) je rovna součtu hodnot všech hodů.
Pomocí Čebyševovy nerovnosti odhadněte pravděpodobnost \(P[|X-350|\ge 50]\).
Nápověda
Rozložte \(X\) na součet mnoha nezávislých náhodných veličin.
Čebyševova nerovnost \(P[|X-EX|\ge t] \le \frac{var(X)}{t^2}\).
Řešení
Je-li náhodná veličina \(Y_i\) hodnota \(i\)-tého hodu jednou kostkou, je \(X=Y_1+Y_2+…+Y_{100}\), přičemž těchto sto veličin je vzájemně nezávislých.
Pro každou veličinu \(Y_i\) platí \(EY_i=\frac72\), \(var(Y_i)=\frac{35}{12}\).
\(EX=E[Y_1+Y_2+…+Y_{100}]=100\cdot \frac72=350\).
\(var(X)=\sum_{i=1}^{100} var(Y_i)=\frac{3500}{12}\).
Nyní podle Čebyševovy nerovnosti
\(P[|X-350|\ge 50] \le \frac{3500}{12 {\cdot} 50^2}=\frac{7}{60}\doteq 0{,}117\)
Odpověď
Daná pravděpodobnost je nejvýše 12 %.