Přímky v prostoru
Úloha číslo: 3813
Určete kolik nejvýše průsečíků může mít množina přímek v \(3\)-rozměrném prostoru, pokud víte, že žádné tři přímky z této množiny nemohou ležet v jedné rovině. (Pokud se nám tři nebo více přímek protíná v jednom bodě, počítáme takový průsečík pouze jednou.)
Nápověda
Pro horní odhad zkoumejte vlastnosti grafu, jehož vrcholy jsou přímky a hrany jsou dvojice přímek s neprázdným průnikem.
Pro dolní odhad například uvažujte čtvercovou mřížku tvořenou \(n/2\) vodorovnými a \(n/2\) svislými přímkami v rovině (pro \(n\) liché jednu svislou přímku vynecháme). Dále přímky vhodně zvedněte (nakloňte) do prostoru tak, že dvojice protínajících se přímek zůstanou zachované, ale žádné tři už nejsou v téže rovině.
Alternativní způsob, jak dostat dolní odhad, je hledat přímky určené chladícími věžemi Jaderné elektrárny Temelín (jednodílným hyperboloidem).
