Dopředná implikace:
Všimněme si, že souvislý graf na alespoň třech vrcholech obsahuje alespoň dvě hrany, tedy kvantifikujeme přes neprázdnou množinu.
Dvě dané hrany rozdělíme. Víme, že tato operace i operace k ní inverzní zachovávají dvousouvislost. Na přidané vrcholy aplikujeme větu dvou o vrcholech na stejném cyklu. Cyklus musí používat oba páry hran vzniklé dělením. Odebráním přidaných vrcholů vrátíme graf do původního stavu a získáme cyklus, který prochází předepsanými hranami.
Obrácená implikace:
Protože graf je souvislý a má alespoň dvě hrany, nemá izolované vrcholy. Také nemá žádné vrcholy stupně jedna, protože by odpovídající hranou nešel vést cyklus (společný s libovolnou jinou hranou). Tedy, jsou-li dány dva vrcholy \(u\) a \(v\) lze vybrat dvě různé hrany, první incidentní s \(u\) a druhou incidentní s \(v\). Cyklus, který obsahuje vybrané dvě hrany obsahuje i dané vrcholy. Uvedený postup lze provést pro každou dvojici vrcholů, graf je tedy dvousouvislý.