Rozptyl rovnoměrného rozdělení

Úloha číslo: 3516

Nechť \(X\) je náhodná veličina, která nabývá hodnot \(1{,}2,…,n\) s rovnoměrným rozdělením pravděpodobnosti. Určete rozptyl této náhodné veličiny.

  • Nápověda

    Použijte vzorec: \(var(X)=E[(X-EX)^2]=E[X^2]-(EX^2)\).

    Také platí, že: \(\sum\limits_{i=1}^n i^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}6\).

  • Řešení

    \( EX=\sum\limits_{i=1}^n i\cdot \frac{1}{n}= \frac{n+1}2\).

    \( EX^2=\sum\limits_{i=1}^n i^2\cdot \frac{1}{n}= \frac{(n+1)(2n+1)}6\).

    Odtud \( var(X)=\left(\frac{n+1}2\right)^2-\frac{(n+1)(2n+1)}6=\frac{(n+1)(n-1)}{12}.\)

  • Odpověď

    Rozptyl náhodné veličiny \(X\) je \(\frac{(n+1)(n-1)}{12}\).

Obtížnost: Snadná úloha (řešená úvahou nebo přímo z definic)
Úloha na trénování výpočtu
En translation
	Zaslat komentář k úloze