Rozptyl rovnoměrného rozdělení
Úloha číslo: 3516
Nechť \(X\) je náhodná veličina, která nabývá hodnot \(1{,}2,…,n\) s rovnoměrným rozdělením pravděpodobnosti. Určete rozptyl této náhodné veličiny.
Nápověda
Použijte vzorec: \(var(X)=E[(X-EX)^2]=E[X^2]-(EX^2)\).
Také platí, že: \(\sum\limits_{i=1}^n i^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}6\).
Řešení
\( EX=\sum\limits_{i=1}^n i\cdot \frac{1}{n}= \frac{n+1}2\).
\( EX^2=\sum\limits_{i=1}^n i^2\cdot \frac{1}{n}= \frac{(n+1)(2n+1)}6\).
Odtud \( var(X)=\left(\frac{n+1}2\right)^2-\frac{(n+1)(2n+1)}6=\frac{(n+1)(n-1)}{12}.\)
Odpověď
Rozptyl náhodné veličiny \(X\) je \(\frac{(n+1)(n-1)}{12}\).