Sbírka matematických úloh

Pluska a minuska

Úloha číslo: 3302

• Varianta

  Pro všechna \(x\in S_n\) platí: \(\displaystyle -\frac{n(n+1)}2\le x\le \frac{n(n+1)}2\).

• Řešení

  Levá nerovnost se nabývá, jsou-li všechna znaménka záporná, pak součet může být jen vyšší. Pro pravou nerovnost obdobně.

• Varianta

  Všechna čísla v \(S_n\) mají stejnou paritu (jsou buď všechna sudá, nebo všechna lichá). Jak tato parita souvisí s hodnotou \(n\)?

• Řešení

  Přidáním sudého sčítance se parita nezmění, přidáním lichého změní. Součty jsou tedy se vzrůstajícím \(n\): lichý, lichý sudý, sudý, lichý, lichý, sudý, sudý atd.

• Varianta

  Všechna celá čísla splňující předchozí dvě podmínky leží v množině \(S_n\).

• Řešení

  Postupujeme indukcí po prvcích \(S_n\) vzestupně.

  Zahájení indukce: \(\displaystyle -\frac{n(n+1)}{2} = \sum_{i=1}^n -i\in S_n\).

  Nechť \(x\in S_n\) a přitom \(x< \displaystyle \frac{n(n+1)}{2}\). Předpokládáme, že \(x\) se dá vyjádřit součtem \(\displaystyle \sum_{i=1}^n \pm i\) pro vhodnou volbu znamének.

  Ukážeme, že \(x+2\) patří do \(S_n\). Je-li první sčítanec ve výrazu pro \(x\) roven \(-1\), zaměníme ho za \(+1\) a dostaneme výraz pro \(x+2\).

  Jinak protože \(x< \displaystyle \frac{n(n+1)}{2}\), musí být v jemu přiřazenému součtu alespoň jeden sčítanec se záporným znaménkem. Protože první sčítanec je kladný (+1), obsahuje výraz dva po sobě jdoucí sčítance, kdy se kladné znaménko změní na záporné, t.j. \(+i-(i+1)\). U těchto dvou sčítanců změníme znaménka na \(-i+(i+1)\), čímž se celý součet zvýší o 2 a dává kýžený výraz pro \(x+2\).