Koeficient v mnohočlenu
Úloha číslo: 4490
Varianta
U členů \(xy^2\) a u \(xyz\) v rozvoji výrazu \((x+y+z)^3\).Řešení
Roznásobením mocniny \((x+y+z)^3=(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)\) zjistíme, že člen \(xy^2\) lze sestavit třemi způsoby: člen \(x\) vybereme buď z prvního, druhého nebo třetího činitele \((x+y+z)\) a dva členy \(y\) z druhých dvou.
Alternativní popis: každé ze slov \(xyy,yxy\) a \(yyx\) odpovídá jedné z uvedených možností. Těchto slov je \(\frac{3!}{1!\cdot 2!}\).
Podobně pro koeficient u \(xyz\) máme tři možnosti, ze kterého z činitelů vybrat \(x\) a poté dvě možnosti, jak ze zbylých dvou vybrat \(y\). Ze zbývajícího členu je pak třeba vybrat \(z\). To je celkem \(3{\cdot} 2=6\) možností.
Zde sestavujeme slova ze tří symbolů \(x,y\) a \(z\), což lze provést \(3!\) způsoby.
Odpověď
Koeficient u členu \(xy^2\) je 3 a koeficient u \(xyz\) je 6.Varianta
U členu \(x^6 y^6 z^6\) v rozvoji výrazu \((x^2+3 y + 2 z^3)^{11}\)Řešení
Podobně jako v předchozí variantě nejprve určíme počet jedenáctipísmenných slov, v nichž se třikrát vyskytne symbol \(x^2\), šestkrát symbol \(3y\) a dvakrát symbol \(2z^3\). Jednim z možných slov, je např. \(3y \cdot 3y \cdot 2z^3 \cdot x^2 \cdot x^2{} \cdot 3y \cdot 2z^3{} \cdot 3y \cdot 3y \cdot 3y \cdot x^2 \). Těchto slov je \(\frac{11!}{3!6!2!}=9\,240\).
Abychom dostali koeficient u \(x^6 y^6 z^6\), je třeba jestě vytknout koecicient \(3^6\) ze členu \((3y)^6\) a podobně \(2^2\) ze členu \((2z^3)^2\).
Odpověď
Koeficient u členu \(x^6 y^6 z^6\) je \(\frac{3^6 2^2 11!}{3!6!2!}=26\,943\,840\).
