Metrika
Úloha číslo: 3800
Ověřte, že Hammingova vzdálenost splňuje axiomy metriky.
Nápověda
Využijeme definici \(\operatorname{dist}(x,y)=|\{i: x_i\ne y_i\}|\)
- \(\forall x,y\in \Sigma^n: \operatorname{dist}(x,y)\ge 0\)
… mohutnost konečné množiny je nezáporné číslo - \(\forall x,y\in \Sigma^n: \operatorname{dist}(x,y)= 0 \Longleftrightarrow x=y\)
… \(\{i: x_i\ne y_i\}=\emptyset\) právě když jsou \(x,y\) shodné - \(\forall x,y\in \Sigma^n: \operatorname{dist}(x,y)=\operatorname{dist}(y,x)\)
… \(x_i\ne y_i\) právě když \(y_i\ne x_i\) - \(\forall x,y,z\in \Sigma^n: \operatorname{dist}(x,z)\le \operatorname{dist}(x,y)+\operatorname{dist}(y,z)\)
… \(x_i\ne z_i \Longrightarrow x_i\ne y_i \lor y_i\ne z_i\) a proto \(\{i: x_i\ne z_i\}\subseteq \{i: x_i\ne y_i\} \cup \{i: y_i\ne z_i\}\)
- \(\forall x,y\in \Sigma^n: \operatorname{dist}(x,y)\ge 0\)