Odhad exponenciály v okolí nuly
Úloha číslo: 3676
Nechť \(a\) je kladné reálné číslo, pro které platí nerovnost \(1+x \leq a^x\) pro všechna \(x \in \mathbb R\). Dokažte, že potom \(a=e\).
Řešení
Funkce \(a^x\) je konvexní s derivací \(a^x\ln a\), tedy v bodě \(x=0\) má derivaci \(\ln a\). Na okolí nuly lze funkci \(a^x\) aproximovat funkcí \(1+x\ln a\).
Pro \(a<e\) bude pro dostatečně malé \(\varepsilon\) platit \(a^{x+\varepsilon}< 1+x+\varepsilon\).
Pro \(a>e\) bude pro dostatečně malé \(\varepsilon\) platit \(a^{x-\varepsilon}< 1+x-\varepsilon\).
