Kvadrát Fibonacciho posloupnosti
Úloha číslo: 3295
Dokažte, že pro každé přirozené \(n\ge 4\) platí \(\displaystyle F_n^2=2F_{n-1}^2+2F_{n-2}^2-F_{n-3}^2.\)
Nápověda
Vyjádřete \(F_{n-3}\) pomocí \(F_{n-1}\) a \(F_{n-2}\).
Řešení
\[\begin{align*} 2F_{n-1}^2+2F_{n-2}^2-F_{n-3}^2 &= 2F_{n-1}^2+2F_{n-2}^2-(F_{n-1}-F_{n-2})^2 \\ &= 2F_{n-1}^2+2F_{n-2}^2-(F_{n-1}^2-2F_{n-2}F_{n-1}+F_{n-2}^2) \\ &= F_{n-1}^2+F_{n-2}^2+2F_{n-2}F_{n-1}\\ &= (F_{n-1}+F_{n-2})^2\\ &= F_n^2 \end{align*}\]
Uvědomte si, že jsme nikde nevuyžili nastavení hodnot \(F_1\) a \(F_2\). Uvedená rovnost proto platí pro všechny rekurentní posloupnosti splňující \(F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\).