Triviální konečné projektivní roviny
Úloha číslo: 3717
Nahradíme (nultý) axiom konečných projektivních rovin o existenci čtyř bodů v obecné poloze tím, že každá přímka obsahuje alespoň dva body. Každá konečná projektivní rovina podle původní definice bude vyhovovat i té nové, ale opačně to neplatí. Které další množinové systémy nová definice připouští?
Řešení
Pozměněným budou axiomům také vyhovovat, pro \(X=\{1,…,n\}\):
- systém, sestávající se z jediné přímky: \(\mathcal P=\{X\}\)
- systém, tvořený jednou přímkou s \(n-1\) body a \(n-1\) dvoubodovými přímkami:
\(\mathcal P=\{\{1,…,n-1\},\{i,n: i\ne n\}\}\)