Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Basilejský problém

Úloha číslo: 4398

Uvažujme nekonečnou sumu \(s=\sum_{n\ge 1} \frac{1}{n^2}.\) Ta je známá pod názvem basilejský problém a Leonhard Euler jako první dokázal, že \(s = \pi^2/6 \doteq 1.645\). My se spokojíme se slabším tvrzením. Dokažte indukcí, že součet prvních \(N\) členů sumy je shora omezen \(2-\frac{1}{N}\). Odvoďte z toho, že \(s\le 2\).

  • Řešení

    Pro \(N=1\) tvrzení platí.

    Indukční krok od \(N-1\) k \(N\): Víme, že \[ \sum_{i=1}^{N-1} \frac{1}{i^2} \le 2 - \frac{1}{N-1}. \] Chceme dokázat, že \[ \sum_{i=1}^N \frac{1}{i^2} \le 2 - \frac{1}{N}. \] Sumu přepíšeme podle indukčního předpokladu: \[ \sum_{i=1}^N \frac{1}{i^2} = \left(\sum_{i=1}^{N-1} \frac{1}{i^2} \right) + \frac{1}{N^2} \le 2 - \frac{1}{N-1} + \frac{1}{N^2}. \] Stačí nám tedy dokázat: \[ 2 - \frac{1}{N-1} + \frac{1}{N^2} \le 2 - \frac{1}{N}, \] což po přerovnání členů dává: \[ \frac{1}{N-1} - \frac{1}{N} \ge \frac{1}{N^2}. \] Obě strany nyní vynásobíme \(N(N-1)\): \[ N - (N-1) \ge (N-1)/N, \] což po zjednodušení dává nerovnost \[ 1 \ge 1 - \frac{1}{N} \] triviálně platnou pro všechna \(N\ge 1\)

Obtížnost: Snadná úloha (řešená úvahou nebo přímo z definic)
Úloha na dokazování, ověřování
Zaslat komentář k úloze