Alternativní axiomatizace II.

Úloha číslo: 3721

Nechť \((X,\mathcal P)\) je množinový systém a pro \(n \in \mathbb N\), \(n \geq 2\), platí:

(1) \(|X|=|\mathcal P|=n^2+n+1\),

(2) \(\forall P \in \mathcal P: |P|=n+1\),

(3) \(\forall P,Q\in\mathcal P: P \ne Q \Rightarrow |P \cap Q| \leq 1\).

Je potom \((X,\mathcal P)\) konečná projektivní rovina řádu \(n\)?

  • Nápověda

    Porovnejte počet všech dvojic bodů s počtem dvojic, které určují nějakou přímku, abyste dokázali, že každé dva body určují jednoznačně nějakou přímku.

  • Řešení

    Z axiomu (2) a podmínky \(n\ge 2\) plyne, že každá přímka je alespoň tříbodová. Zvolíme přímky \(P, Q\) libovolně, potom díky (3) \(P\) obsahuje body \(a,b\) neležící na \(Q\) a přímka \(Q\) body \(c,d\) neležící na \(P\). Čtveřice bodů \(\check{C}=\{a,b,c,d\}\) je v obecné poloze. Kdyby totiž nějaká přímka \(R\) splňovala \(|R\cap\check{C}|\ge 3\), potom buď \(|R\cap P|= 2\) nebo \(|R\cap Q|= 2\), což by bylo ve sporu s axiomem (3).

    Na \(X\) lze vytvořit \(\binom{|X|}{2}=\binom{n^2+n+1}{2}\) dvojic bodů (1). Každou přímku \(P\) určuje \(\binom{|P|}{2}=\binom{n+1}{2}\) dvojic bodů (2).

    Díky (3) jedna dvojice může určit nejvýše jednu přímku. Pro určení \(n^2+n+1\) přímek (1) tedy potřebujeme alespoň \((n^2+n+1)\binom{n+1}{2}\) dvojic bodů.

    Protože však \((n^2+n+1)\binom{n+1}{2}=\binom{n^2+n+1}{2}\), nezbývá žádná dvojice bodů, která by neurčovala přímku. Tím jsme dokázali další z axiomů projektivní roviny a to ten, že každá dvojice bodů určuje jednoznačně přímku.

    Před dokazováním posledního z axiomů odhadneme počet přímek procházejících libovolným bodem \(a\). Kromě \(a\) leží na každé přímce procházející \(a\) ještě dalších \(n\) bodů (2) ze zbylých \(n^2+n\) (1), a tyto body musejí být různé (3). Tedy bod \(a\) může ležet na nejvýše \(\frac{n^2+n}{n}=n+1\) přímkách.

    Protože však \(n^2+n+1>n+1\), existuje pro bod \(a\) přímka \(P: a\notin P\). Každý bod \(P\) určuje díky právě dokázanému axiomu jednu přímku procházející \(a\), tedy \(a\) náleží alespoň \(n+1\) přímkám.

    (Existence \(P\) alternativně: zvolme dvě různé přímky \(Q, R\) procházející \(a\). Kdyby \(a\) leželo jen na jedné přímce, mezi zbývajícími \(n^2+n\) vybereme \(P\). Na přímkách \(Q, R\) zvolíme body \(b,c\). Ty existují protože \(n\ge 2\) a (2). V předchozím bodě jsme ukázali, že přímka \(P\) určená \(b,c\) existuje. Také neprochází \(a\) kvůli (3).)

    Nyní obdobně dokažme axiom o průniku přímek, podle (3) postačí ukázat, že se každé dvě přímky protínají. Dvojic přímek je \(\binom{n^2+n+1}{2}\), jeden bod odpovídá průniku alespoň \(\binom{n+1}{2}\) dvojic přímek a protože celkový počet bodů je \(n^2+n+1\), zjistíme, že nezůstanou žádné dvě přímky, které by se neprotínaly.

Obtížnost: Obtížná úloha
Úloha na dokazování, ověřování
En translation
	Zaslat komentář k úloze