Množiny podmnožin

Úloha číslo: 3338

Je pravda, že pro každé dvě množiny \(X\) a \(Y\) platí \(2^X = 2^Y\), právě když \(X = Y\)?

  • Nápověda

    Co se stane, když sjednotíte všechny množiny v \(2^X\)?

  • Řešení

    Dokážeme implikace oběma směry, tu zprava doleva dostaneme je jen pouhou záměnou \(X\) za \(Y\) v exponentu: \(2^X = 2^Y\).

    V opačném směru je třeba si nejprve uvědomit, že \(X =\bigcup 2^X\), protože potenční množina \(2^X\) obsahuje \(X\) jako jednu ze svých podmnožin a sjednocování s ostatními žádné nové prvky nepřidá. Nyní již snadno \(X =\bigcup 2^X =\bigcup 2^Y = Y\).

  • Odpověď

    Ekvivalence \(2^X = 2^Y \Longleftrightarrow X = Y\) platí.

Obtížnost: Snadná úloha (řešená úvahou nebo přímo z definic)
Úloha na dokazování, ověřování
En translation
	Zaslat komentář k úloze