Počet uspořádání
Úloha číslo: 3403
Určete počet různých částečných uspořádání na čtyřech prvcích.
Nápověda
Postupujte systematicky podle počtu porovnatelných dvojic.
Řešení
Lineární uspořádání – \(4!=24\) možností.
Jedna neporovnatelná dvojice:
mezi maximálními prvky – 12 možností
mezi "prostředními" prvky – 12 možností
mezi minimálními prvky – 12 možnostíDvě neporovnatelné dvojice:
dva maximální a dva minimální prvky – 6 možností
dva maximální prvky a jeden nejmenší – 24 možností
dva minimální prvky a jeden největší – 24 možnostíTři neporovnatelné prvky:
s největším prvkem – 4 možnosti
s nejmenším prvkem – 4 možnosti
bez největšího i nejmenšího prvku – \(4!=24\) možností.Nesouvislá částečná uspořádání
2 komponenty po dvou prvcích – 12 možností
2 komponenty, jedna s jedním, druhá se třemi prvky:
s lineárním uspořádáním na třech prvcích – \(4!=24\) možností.
s největším prvkem na třech prvcích – 12 možností
s nejmenším prvkem na třech prvcích – 12 možností3 komponenty – 12 možností
4 komponenty – 1 možnost
Hasseovy diagramy těchto uspořádání:
Odpověď
Na čtyřech prvcích je 219 částečných uspořádání, z toho 16 neizomorfních.