Počet uspořádání

Úloha číslo: 3403

Určete počet různých částečných uspořádání na čtyřech prvcích.

  • Nápověda

    Postupujte systematicky podle počtu porovnatelných dvojic.

  • Řešení

    Lineární uspořádání – \(4!=24\) možností.

    Jedna neporovnatelná dvojice:
    mezi maximálními prvky – 12 možností
    mezi "prostředními" prvky – 12 možností
    mezi minimálními prvky – 12 možností

    Dvě neporovnatelné dvojice:
    dva maximální a dva minimální prvky – 6 možností
    dva maximální prvky a jeden nejmenší – 24 možností
    dva minimální prvky a jeden největší – 24 možností

    Tři neporovnatelné prvky:
    s největším prvkem – 4 možnosti
    s nejmenším prvkem – 4 možnosti
    bez největšího i nejmenšího prvku – \(4!=24\) možností.

    Nesouvislá částečná uspořádání

    2 komponenty po dvou prvcích – 12 možností

    2 komponenty, jedna s jedním, druhá se třemi prvky:
    s lineárním uspořádáním na třech prvcích – \(4!=24\) možností.
    s největším prvkem na třech prvcích – 12 možností
    s nejmenším prvkem na třech prvcích – 12 možností

    3 komponenty – 12 možností

    4 komponenty – 1 možnost

    Hasseovy diagramy těchto uspořádání:

  • Odpověď

    Na čtyřech prvcích je 219 částečných uspořádání, z toho 16 neizomorfních.

Obtížnost: Snadná úloha (řešená úvahou nebo přímo z definic)
Úloha řešená úvahou
En translation
	Zaslat komentář k úloze