Sbírka matematických úloh

Uzavřenost symetrie

Úloha číslo: 3355

• Varianta

  $R\cup S$

• Řešení

  Je-li $x(R\cup S)y$, potom, buď $xRy$ nebo $xSy$, odtud ovšem $yRx$ nebo $ySx$ a tedy i $y(R\cup S) x$.

• Odpověď

  Relace $R\cup S$ je symetrická.

• Varianta

  $R\cap S$

• Řešení

  Je-li $x(R\cap S)y$, potom $xRy$ a zároveň $xSy$, odtud ovšem $yRx$ a zároveň $ySx$ a tedy i $y(R\cap S) x$.

• Odpověď

  Relace $R\cap S$ je symetrická.

• Varianta

  $R\setminus S$

• Řešení

  Je-li $x (R\setminus S) y$, potom $(x,y)\in R$ a $(x,y) \notin S$. Proto $(y,x)\in R$ a $(y,x) \notin S$ a tedy $y (R\setminus S) x$

• Odpověď

  Relace $R\setminus S$ je symetrická.

• Varianta

  $R\mathbin{\Delta}S$

• Řešení

  Je-li $x(R\mathbin{\Delta}S) y$, potom nastane jedna z možností: $(x,y)\in R$ a $(x,y) \notin S$, nebo $(x,y)\notin R$ a $(x,y) \in S$. Odtud $(y,x)\in R$ a $(y,x) \notin S$, nebo $(y,x)\notin R$ a $(y,x) \in S$ a proto $y(R\mathbin{\Delta}S) x$.

• Odpověď

  Relace $R\mathbin{\Delta}S$ je symetrická.

• Varianta

  $R\circ S$

• Řešení

  Vezměme na $X=\{a,b,c\}$ symetrické relace $R=\{(a,b),(b,a)\}$ a $S=\{(b,c),(c,b)\}$. Složení $R\circ S$ obsahuje pouze dvojici $(a,c)$.

• Odpověď

  Relace $R\circ S$ nemusí být symetrická.

• Varianta

  $R^{-1}$

• Řešení

  Je-li $x R^{-1} y$, potom $y R x$, ze symetrie $x R y$ a tedy $y R^{-1} x$.

• Odpověď

  Relace $R^{-1}$ je symetrická.