Uzavřenost symetrie

Buďte \(R\) a \(S\) symetrické relace na téže množině. Které z následujících relací jsou také symetrické?

Varianta
\(R\cup S\)
Řešení
Je-li \(x(R\cup S)y\), potom, buď \(xRy\) nebo \(xSy\), odtud ovšem \(yRx\) nebo \(ySx\) a tedy i \(y(R\cup S) x\).
Odpověď
Relace \(R\cup S\) je symetrická.
Varianta
\(R\cap S\)
Řešení
Je-li \(x(R\cap S)y\), potom \(xRy\) a zároveň \(xSy\), odtud ovšem \(yRx\) a zároveň \(ySx\) a tedy i \(y(R\cap S) x\).
Odpověď
Relace \(R\cap S\) je symetrická.
Varianta
\(R\setminus S\)
Řešení
Je-li \(x (R\setminus S) y\), potom \((x,y)\in R\) a \((x,y) \notin S\). Proto \((y,x)\in R\) a \((y,x) \notin S\) a tedy \(y (R\setminus S) x\)
Odpověď
Relace \(R\setminus S\) je symetrická.
Varianta
\(R\mathbin{\Delta}S\)
Řešení
Je-li \(x(R\mathbin{\Delta}S) y\), potom nastane jedna z možností: \((x,y)\in R\) a \((x,y) \notin S\), nebo \((x,y)\notin R\) a \((x,y) \in S\). Odtud \((y,x)\in R\) a \((y,x) \notin S\), nebo \((y,x)\notin R\) a \((y,x) \in S\) a proto \(y(R\mathbin{\Delta}S) x\).
Odpověď
Relace \(R\mathbin{\Delta}S\) je symetrická.
Varianta
\(R\circ S\)
Řešení
Vezměme na \(X=\{a,b,c\}\) symetrické relace \(R=\{(a,b),(b,a)\}\) a \(S=\{(b,c),(c,b)\}\). Složení \(R\circ S\) obsahuje pouze dvojici \((a,c)\).
Odpověď
Relace \(R\circ S\) nemusí být symetrická.
Varianta
\(R^{-1}\)
Řešení
Je-li \(x R^{-1} y\), potom \(y R x\), ze symetrie \(x R y\) a tedy \(y R^{-1} x\).
Odpověď
Relace \(R^{-1}\) je symetrická.