Permutace - nezávislé jevy
Úloha číslo: 3510
Nechť \(\pi\) je náhodná permutace množiny čísel \({1, 2, …, 100}\). Nechť \(A_i\) je jev vyjadřující, že \(\pi(i) = i\). Jsou jevy \(A_1\) a \(A_2\) nezávislé?
Řešení
Jev \(A_1\) odpovídá libovolným permutacím zbylých \(99\) prvků, tedy: \(P(A_1)=P(\pi(1)=1)=\frac{99!}{100!}=\frac{1}{100}\).
Analogicky dostaneme: \(P(A_2)=\frac{1}{100}\).
Průnik jevů \(A_1\) a \(A_2\) odpovídá libovolným permutacím zbylých \(98\) prvků, neboli \(P(A_1\cap A_2)=P(\pi(1)=1 \land \pi(2)=2)=\frac{98!}{100!}=\frac{1}{9\,900}\).
Protože \(P(A_1)P(A_2)=\frac{1}{10\,000}\ne \frac{1}{9\,900}=P(A_1\cap A_2)\), nejsou jevy \(A_1\) a \(A_2\) nezávislé.
Odpověď
Jevy \(A_1\) a \(A_2\) jsou závislé.