Dvě tvrzení o kostkách

Úloha číslo: 3504

Rozhodněte, které z následujících tvrzení je pravdivé:

a) Pravděpodobnost, že při hodu dvaceti kostkami padnou na alespoň desíti kostkách alespoň čtyři oka, je jedna polovina.

b) Pravděpodobnost, že při hodu devatenácti kostkami padnou na alespoň desíti kostkách alespoň čtyři oka, je jedna polovina.

Své rozhodnutí zdůvodněte. Lze určit výsledek bez výpočtu pravděpodobností?

  • Řešení

    Aniž bychom prováděli výpočet, lze nahlédnout, že je-li počet kostek \(n\) lichý, lze spárovat elementární jevy následovně: Na všech kostkách zaměníme hodnotu hozených ok \(i\) za \(7-i\) (neboli, mají-li hodnoty na protilehlých stěnách kostek součet 7, otočíme všechny kostky spodní stranou vzhůru).

    Toto spárování udává bijekci mezi množinami/jevy \(A\), obsahující hody, kdy na alespoň desíti kostkách padne nadpoloviční počet ok, a \(B\), kdy na nejvýše devíti kostkách padne nadpoloviční počet ok.

    Protože elementární jevy mají stejnou pravděpodobnost a množiny \(A\) a \(B\) mají stejnou mohutnost, je pravdivé druhé tvrzení.

    V prvním případě, kdy je pocet sudý, by zůstaly nespárované ty případy, kdy padne právě 10krát nadpoloviční počet ok. O polovinu z těchto případů případy, jmenovitě o \(\frac{\frac12 \binom{20}{10}}{2^{20}}\) vyjde pravděpodobnost nad \(\frac12\).

    Výpočtem lze ověřit, že pravděpodobnost v prvním případě vyjde \(\frac{616\,666}{1\,048\,576}\).

  • Odpověď

    Pravdivé je druhé tvrzení.

Obtížnost: Snadná úloha (řešená úvahou nebo přímo z definic)
Úloha na dokazování, ověřování
En translation
	Zaslat komentář k úloze