Hody kostkou
Úloha číslo: 3697
Zjistěte, jaká je pravděpodobnost, že při hodu 12 hracími kostkami hodíme dohromady přesně 30 ok.
Řešení
Vytvořující funkce pro pravděpodobnosti součtů hozených ok je
\(\displaystyle P(x)= \frac1{6^{12}}(x+x^2+…+x^6)^{12}= \frac{x^{12}}{6^{12}}(1+x+x^2+…+x^5)^{12}= \frac{x^{12}}{6^{12}}\left(\frac{1-x^6}{1-x}\right)^{12} \)
Jmenovatel posledního členu rozvineme podle zobecněné binomické věty
\(\displaystyle (1-x)^{-12}= \sum_{k=0}^\infty\binom{-12}{k}(-x)^k \)
Koeficient u \(x^{30}\) v \(P(x)\) je \(\frac1{6^{12}}\) koeficientu u \(x^{18}\) v součinu \(\displaystyle (1-x^6)^{12}\sum_{k=0}^\infty\binom{-12}{k}(-x)^k\).
Z prvního činitele vybereme členy s exponentem nejvýš 18 a doplníme je členy z druhého činitele s exponenty rovny doplňku do 18. Dostaneme:
\(\displaystyle (1-x^6)^{12}\sum_{k=0}^\infty\binom{-12}{k}(-x)^k= \left(\binom{12}{0}(-x^6)^0+\binom{12}{1}(-x^6)^1+\binom{12}{2}(-x^6)^{2} +\binom{12}{3}(-x^6)^{3}+\cdots\right)\\ \left( \binom{-12}{0}(-x)^{0}+\cdots+ \binom{-12}{6}(-x)^{6}+\cdots+ \binom{-12}{12}(-x)^{12}+\cdots+ \binom{-12}{18}(-x)^{18}+\cdots \right) =\\ \cdots+ \left( \binom{12}{0}\binom{-12}{18}- \binom{12}{1}\binom{-12}{12}+ \binom{12}{2}\binom{-12}{6}- \binom{12}{3}\binom{-12}{0} \right)x^{18}+\cdots \)
Po úpravě \(\binom{-12}{i}=\binom{i+12-1}{i}\) a zjednodušení dostaneme výsledek.
Poznámka: ke stejnému výsledku bychom došli přibližně stejně náročným výpočtem s použitím principu inkluze a exkluze.
Odpověď
Pravděpodobnost hodu 30 ok na 12 kostkách je \(\displaystyle \frac1{6^{12}}\left( \binom{29}{18}- 12\binom{23}{12}+ \binom{12}{2}\binom{17}{6}- \binom{12}{3} \right)=\frac{9\,594\,475}{1\,088\,391\,168}\doteq 0.00881528193363657\), tedy necelých 9 promile.
